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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 71

Nos exercícios 68 a 72, calcular a integral definida:

71. ∫ 2 3 d t t 2 9 t 2 + 16

Passo 1

Essa questão é de substituição trigonométrica, então antes de fazermos a integral definida, calcularemos a integral indefinida.

Definindo o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa.

Sem mais enrolação, vamos lá!

Passo 2

Falaremos que o nosso cateto oposto é 3 t , o cateto adjacente é 4 e a hipotenusa é 9 t 2 + 16 .

Calcularemos a expressão do cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = c a t   a d j h i p o = 4 9 t 2 + 16

Ajeitando essa expressão:

9 t 2 + 16 = 4 cos ⁡ θ = 4 sec ⁡ θ

Agora a tan ⁡ θ :

tan ⁡ θ = c a t   o p o c a t   a d j = 3 t 4

Ajeitando essa expressão:

3 t = 4 tan ⁡ θ

t = 4 3 tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados, temos:

d t = 4 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos substituir, tudo na integral

∫ d t t 2 9 t 2 + 16 = ∫ 4 3 sec 2 ⁡ θ d θ 4 3 tan ⁡ θ 2 4 sec ⁡ θ = ∫ 4 3 sec 2 ⁡ θ d θ 64 9 tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ = 3 16 ∫ sec ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ

Passo 3

Focaremos nessa expressão da integral:

∫ sec ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ

Transformaremos tudo na expressão com seno e cosseno!

∫ sec ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ = ∫ 1 cos ⁡ θ d θ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ sin 2 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ sin 2 ⁡ θ

Com a expressão toda ajeitada, vou chamar sin ⁡ θ = u

E

d u = cos ⁡ θ d θ

Voltando tudo na integral, temos:

∫ cos ⁡ θ d θ sin 2 ⁡ θ = ∫ d u u 2 = - 1 u + c

∫ d u u 2 = - 1 u

Agora voltamos para sin ⁡ θ = u :

∫ cos ⁡ θ d θ sin 2 ⁡ θ = - 1 sin ⁡ θ + c

Puxando lá de trás o que é sin ⁡ θ .

sin ⁡ θ = c a t   o p o h i p o = 3 t 9 t 2 + 16

∫ d t t 2 9 t 2 + 16 = - 1 3 t 9 t 2 + 16 + c = - 9 t 2 + 16 3 t + c

Agora, façamos a definida, mas não se esqueça do 3 16 que botamos em evidência lá no começo hein.

∫ 2 3 d t t 2 9 t 2 + 16 =   3 16 - 9 t 2 + 16 3 t 3 2 = 3 16 - 43 3 3 + 34 3 2

Vamos cortar o 3 do numerador com os 3 do denominador e trocar o sinal do que tem dentro.

∫ 2 3 d t t 2 9 t 2 + 16 = - 1 16 43 3 - 17 2 2 =

Cortando o 2 de cima com o de baixo, temos:

∫ 2 3 d t t 2 9 t 2 + 16 = - 1 16 43 3 - 17

Resposta

- 1 16 43 3 - 17

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