Calcular a integral definida:

∫ 0 a 2 b a 2 - b 2 x 2 d x ,         0 < a < b

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ a 2 - b 2 x 2 d x

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = b x

d u = b d x

Substituindo temos:

∫ a 2 - b 2 x 2 d x = ∫ a 2 - u 2 b d u = 1 b ∫ a 2 - u 2 d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u = a sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ u a

d x = a cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

1 b ∫ a 2 - u 2 d u = 1 b ∫ a 2 - a 2 sen 2 ⁡ θ a cos ⁡ θ d θ = a b ∫ a 2 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

a b ∫ a 2 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = a b ∫ a 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = a b ∫ a cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ =

= a 2 b ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Assim ficamos com:

a 2 b ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = a 2 b ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = a 2 b ∫ 1 2 d θ + a 2 b ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 3

Com a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 2 d θ = 1 2 θ + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

v = 2 θ

d v = 2 d θ

Substituindo:

∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ cos ⁡ v 2 ⋅ 1 2 d v = ∫ cos ⁡ v 4 d v

Agora usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

E agora plicando:

∫ cos ⁡ v 4 d v = 1 4 ∫ cos ⁡ v d v = 1 4 sen ⁡ v + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

∫ a 2 - b 2 x 2 d x = 1 b ∫ a 2 - u 2 d u = a 2 b ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = a 2 b ∫ 1 2 d θ + a 2 b ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

= a 2 b ⋅ 1 2 θ + a 2 b ⋅ 1 4 ∫ cos ⁡ v d v = a 2 2 b θ + a 2 b ⋅ 1 4 sen ⁡ v + C = a 2 2 b θ + a 2 4 b sen ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ a 2 - b 2 x 2 d x = a 2 2 b θ + a 2 16 b sen ⁡ v + C = a 2 2 b arcsen ⁡ u a + a 2 4 b sen ⁡ 2 θ + C =

= a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + a 2 4 b sen ⁡ 2 θ + C

Temos que u = a sen ⁡ θ , ou seja, sen ⁡ θ = u a , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos ⁡ θ e sen ⁡ 2 θ :

Assim:

cos ⁡ θ = a 2 - u 2 a

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 ⋅ u a ⋅ a 2 - u 2 a = 2 u a 2 - u 2 a 2  

Passo 5

E por último substituindo:

∫ a 2 - b 2 x 2 d x = a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + a 2 4 b sen ⁡ 2 θ + C =

= a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + a 2 4 b ⋅ 2 u a 2 - u 2 a 2 + C =

= a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + 2 u a 2 - u 2 4 b + C = a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + 2 b x a 2 - b 2 x 2 4 b + C =

= a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + x a 2 - b 2 x 2 2 + C

Passo 6

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 a 2 b a 2 - b 2 x 2 d x = a 2 2 b arcsen ⁡ b x a + x a 2 - b 2 x 2 2 0 a 2 b =

= a 2 2 b arcsen ⁡ b ⋅ a 2 b a + a 2 b a 2 - b 2 a 2 b 2 2 - a 2 2 b arcsen ⁡ b ⋅ 0 a + 0 ⋅ a 2 - b 2 ⋅ 0 2 2 =

= a 2 2 b arcsen ⁡ a 2 a + a 2 b a 2 - b 2 a 2 4 b 2 2 - a 2 2 b arcsen ⁡ 0 =

= a 2 2 b arcsen ⁡ 1 2 + a 2 b a 2 - a 2 4 2 - a 2 2 b ⋅ 0 = a 2 2 b ⋅ π 6 + a 4 b 4 a 2 - a 2 4 = a 2 π 12 b + a 4 b 3 a 2 4 =

= a 2 π 12 b + a 4 b ⋅ 3 ⋅ a 2 = a 2 π 12 b + 3 a 2 8 b

Resposta

∫ 0 a 2 b a 2 - b 2 x 2 d x = a 2 π 12 b + 3 a 2 8 b

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