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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 47

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ x 1 - x d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

u = x

x = u 2

Derivando dos dois lados:

d x = 2 u d u

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ x 1 - x d x = ∫ u 1 - u 2 2 u d u = 2 ∫ 1 - u 2 u 2 d u

Fazendo mais uma mudança de variável:

u = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = cos ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

2 ∫ 1 - u 2 u 2 d u = 2 ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

2 ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 2 ∫ cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 2 ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Relembrando das relações trigonométricas:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

sin ⁡ 2 θ 2 = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Logo,

2 ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 2 ∫ sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 d θ = 2 ∫ sin ⁡ 2 θ 2 2 d θ

Lembrando que,

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Assim,

1 2 ∫ sin 2 ⁡ 2 θ d θ = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 4 θ 2 d θ

Passo 4

Separando os dois termos:

1 4 ∫ d θ - 1 4 ∫ cos ⁡ 4 θ d θ

Calculando a integral:

1 4 ∫ d θ - 1 4 ∫ cos ⁡ 4 θ d θ = θ 4 - sin ⁡ 4 θ 4 4 θ ' + C = θ 4 - sin ⁡ 4 θ 16 + C = θ 4 - sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ 8 + C

θ 4 - 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ - 1 8 + C = θ 4 - sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + C

Revertendo para a variável original:

θ 4 - sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + C = arcsin ⁡ u 4 - u 1 - u 2 3 / 2 2 + u 1 - u 2 1 / 2 4 + C

arcsin ⁡ x 4 - x 1 - x 3 2 2 + x 1 - x 4 + C = arcsin ⁡ x 4 - x 1 - x 1 - x 2 + x 1 - x 4 + C

arcsin ⁡ x 4 - x 1 - x 1 - 2 x 4 + C

Resposta

arcsin ⁡ x 4 - x 1 - x 1 - 2 x 4 + C

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Calcule a integral indefinida: ∫ 1 + x 2 x 3d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x + 1 4 - x 2d x
Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor. ∫ 3 10 d x x 2 x 2 - 9