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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 65

Calcule a integral indefinida:

int sqrt(4 + x^2) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = 2 tg theta

d x = 2 sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int sqrt(4 + x^2) d x = int (sqrt(4 + 4 tg^2 theta)) 2 sec^2 theta d theta = int (sqrt(4 (1 + tg^2 theta))) 2 sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (sqrt(4 (1 + tg^2 theta))) 2 sec^2 theta d theta = int (sqrt(4 sec^2 theta)) 2 sec^2 theta d theta = int 2 sec theta 2 sec^2 theta d theta =

= int 4 sec^3 theta d theta = 4 int sec^3 theta d theta

Passo 2

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int sec^3 theta d theta = (1)/(3 - 1) sec^(3 - 2) theta tg theta + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) theta d theta

int sec^3 theta d theta = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta

Passo 3

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tg theta| + C

Agora vamos juntar tudo:

int sqrt(4 + x^2) d x = 4 int sec^3 theta d theta = 4 ((1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta) =

= 2 sec theta tg theta + 2 ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 tg theta , ou seja, tg theta = (x)/(2) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec theta :

Assim o valor de sec theta é:

sec theta = (1)/(cos theta) = (1)/((2)/(sqrt(4 + x^2))) = (sqrt(4 + x^2))/(2)

Pronto, ficamos então com:

int sqrt(4 + x^2) d x = 2 sec theta tg theta + 2 ln |sec theta + tg theta| + C =

= 2 * (sqrt(4 + x^2))/(2) * (x)/(2) + 2 ln |(sqrt(4 + x^2))/(2) + (x)/(2)| + C = (x sqrt(4 + x^2))/(2) + 2 ln |(sqrt(4 + x^2))/(2) + (x)/(2)| + C

Resposta

int sqrt(4 + x^2) d x = (x sqrt(4 + x^2))/(8) + (1)/(2) ln |(sqrt(4 + x^2))/(2) + (x)/(2)| + C

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