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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 8

A área de um triângulo que possiu lados a e b e ângulo entre eles de θ   é dada por:

A = 1 2 a b s e n θ

Calcule a taxa de crescimento da área quando:

  1. a = 2 ; b = 3 ; d θ d t = 0,2 ; θ = π 3
  2. a = 2 ; d b d t = 1,5 ; d θ d t = 0,2 ; b = 3 ; θ = π 3
  3. d a d t = 2,5 ; d b d t = 1,5   ; d θ d t = 0,2   ; a = 2 ; b = 3 ; θ = π 3

Passo 1

Fala aí pessoal! partiu resolver mais um problema de cálculo.

Este problema é de taxa relacionada. Sabemos que a área do triângulo é dada por:

A = 1 2 a b s e n θ

Onde a e b são os lados do triangulo e θ o ângulo entre eles.

A partir dai queremos encontrar a taxa de crescimento da area a partir de alguns valores dados no enunciado.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para achar a taxa de crescimento, basta derivar a função em relação a variável que queremos encontrar a variação, no caso, em t .

Vamos analisar cada caso separadamente...

Bora lá!

Passo 2

No caso a), temos a = 2 ; b = 3 ; d θ d t = 0,2 ; θ = π 3 , ou seja, só quem varia, além da área é o ângulo θ .

Dessa forma, derivando a equação em função do tempo, vamos obter

d A d t = d 1 2 a b s e n θ d t = 1 2 a b d s e n θ d t

Nesse caso, temos que aplicar a regra da cadeia pois θ é uma função...

d s e n θ d t = d θ d t · d s e n θ d θ

Substituindo em d A / d t ...

d A d t = 1 2 a b d θ d t · d s e n θ d θ

d A d t = 1 2 a b d θ d t · cos ⁡ θ

Agora substituimos os valores dados nesse item, ou seja

d A d t = 1 2 · 2 · 3 · 0,2 · cos ⁡ π 3

d A d t = 0,3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

No item b), temos a = 2 ; d b d t = 1,5 ; d θ d t = 0,2 ; b = 3 ; θ = π 3 , ou seja, alem de A , b e θ tambem variam com o tempo, então nesse caso, vamos quer que aplicar a regra do produto...

d A d t = d 1 2 a b s e n θ d t = 1 2 a d b d t · s e n θ + b · d s e n θ d t

Como vimos no item anterior...

d A d t = 1 2 a d b d t · s e n θ + b · d θ d t · cos ⁡ θ

Substituindo os valores dados no item...

d A d t = 1 2 · 2 1,5 · s e n π 3 + 3 · 0,2 · cos ⁡ π 3

d A d t = 1,599

Show?

Passo 4

Por fim, no item c), temos d a d t = 2,5 ; d b d t = 1,5   ; d θ d t = 0,2   ; a = 2 ; b = 3 ; θ = π 3 , ou seja, todos os valores variam com o tempo...

Portanto, aplicando a regra do produto novamente...

Primeiro consideramos a b como uma única função

d A d t = 1 2 d a b s e n θ d t = 1 2 d a b d t · s e n θ + a b · d s e n θ d t

Agora na derivada de a b aplicamos a regra do produto novamente

d A d t = 1 2 d a d t · b + a · d b d t · s e n θ + a b · d s e n θ d t

Como vimos no passo 2, a derivada de sin ⁡ θ é dada por

d A d t = 1 2 d a d t · b + a · d b d t · s e n θ + a b · d θ d t · cos ⁡ θ

Substituindo os valores dados no problema...

d A d t = 1 2 2,5 · 3 + 2 · 1,5 · s e n π 3 + 2 · 3 · 0,2 · cos ⁡ π 3

d A d t = 4,84

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. d A d t = 0,23  

  2. d A d t = 1,599

  3. d A d t = 4,84
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