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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 18

Avalie a integral.

int sin x cos ((1)/(2) x) d x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos lembrar da seguinte identidade:

cos t sin s = ((sin (s + t) + sin (s - t)))/(2)

Substituindo na nossa integral:

int ((sin (x + (1)/(2) x) + sin (x - (1)/(2) x)))/(2) d x

= (1)/(2) int sin (x + (1)/(2) x) + sin (x - (1)/(2) x) d x

= (1)/(2) int sin ((3 x)/(2)) + sin ((x)/(2)) d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = (3 x)/(2)

(2 d x)/(3) = d u

E também:

v = (x)/(2)

2 d v = d x

Substituindo u , v , d u // d x , d u // d v , temos:

(1)/(3) int sin u d u + int sin v d v

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e v , depois substituir:

(1)/(3) int sin u d u + int sin v d v

Integrando:

- (1)/(3) cos u - cos v + C

Substituindo u e v :

- (1)/(3) cos ((3 x)/(2)) - cos ((x)/(2)) + C

Resposta

- (1)/(3) cos ((3 x)/(2)) - cos ((x)/(2)) + C

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