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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 18

Área de Wyoming - O estado de Wyoming é delimitado pelos meridianos 111 ° 3 ' e 104 ° 3 ' de longitude oeste e pelos paralelos 41 ° e 45 ° de latitude norte. Considerando que a Terra seja uma esfera de raio R = 3959   m i l h a s , encontre a área de Wyoming.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Em coordenadas esféricas podemos parametrizar uma esfera de raio r centrada na origem como

r θ , ϕ = r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ i + r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ j + r cos ⁡ ϕ k

Onde r é uma constante. Neste caso, nós temos que r = 3959   m i l h a s

104 ° 3 ' ≤ θ ≤ 111 ° 3 '   e   45 ° ≤ ϕ ≤ 49 °

As derivadas parciais da equação paramétrica em relação aos seus parâmetros são

r θ = - r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ i + r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ j

r ϕ = r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ i + r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ j - r sen ⁡ ϕ k

Com isso, o produto vetorial vai ser igual a

r θ × r ϕ = i j k - r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ r cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ - r sen ⁡ ϕ = - r 2 sen 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i - r 2 sen 2 ⁡ ϕ sen ⁡ θ j - r 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ k

Passo 2

Portanto,

d σ = r θ × r ϕ d A

Com isso, desenvolvendo os termos

d σ = r 4 sen 4 ⁡ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + r 4 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ d θ

Que tem como resultado

d σ = r 2 sen ⁡ ϕ   d ϕ d θ

A área da superfície

∬ d σ = ∫ 104 ° 3 ' 111 ° 3 ' r 2 sen ⁡ ϕ   d ϕ d θ

Desenvolvendo os termos

∬ d σ = 111 ° 3 ' - 104 ° 3 ' r 2 [ - cos ⁡ ϕ ] 45 ° 49 ° = 99751,4   m i l h a s

Resposta

A = 97751,4   m i l h a s

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