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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 29

Quais dos campos nos Exercícios 29-32 são conservativos e quais não são?

29. F = x i + y j + z k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O objetivo desta tarefa é explicar se determinado campo

F = x i + y j + z k

É conservador ou não. Lembre-se de que se F é um campo vetorial conexo em um domínio, tal que

F = M x , y , z i + N x , y , z j + P x , y , z k

Tem primeiras derivadas parciais contínuas, então F é um campo vetorial conservativo se e somente se

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ P ∂ x = ∂ M ∂ z , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Passo 2

Temos o campo vetorial

F x , y , z = x i + y j + z k

Se M = x ,   N = y e P = z , portanto

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y z = 0   e ∂ N ∂ z = ∂ ∂ z y = 0  

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x z = 0   e ∂ M ∂ z = ∂ ∂ z x = 0

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x y = 0   e ∂ M ∂ y = ∂ ∂ y x = 0

Portanto, desde que ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ P ∂ x = ∂ M ∂ z , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y   , F é um vetor conservativo!

Resposta

Respondido acima!

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