Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao diâmetro. Se a altura crescer a uma taxa constante de , a que taxa a areia estará escoando quando a pilha tiver de altura?

Mas como podemos relacionar os dados de taxa de escoamento com a variação do raio e da altura? Pra isso podemos usar a fórmula de volume do cone:

O enunciado pede a taxa de escoamento, que nada mais é do que a velocidade com que a pilha de areia está sendo formada, ou seja, a velocidade de formação desse cone ().

Além disso o enunciado nos diz que a altura cresce a uma taxa constante de , ou seja:

Já que nessa questão não vamos nos preocupar em saber a taxa com que o raio do cone cresce, podemos substituir dentro da expressão do volume que

fazendo isso ficamos com:

Agora pra relacionarmos as taxas de crescimento desses caras, podemos derivar em relação ao tempo a expressão do volume:

Pela regra da cadeira:

Chegamos que:

Substituindo os valores de:

E , para aquele instante, na equação (1):

Então como a taxa de escoamento nada mais é do que a a velocidade de formação do cone () Encontramos nossa resposta 😊