Crescimento de um monte de areia Areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m3/min no topo de um monte cônico. A altura do monte sempre tem três oitavos do diâmetro da base.

Qual a taxa de variação da

  1. altura e do
  2. raio

Quando o monte tiver 4 m de altura? Responda em cm/min.

Passo 1

Primeiramente anotar os dados da questão:

d V d t = 10 m 3 m i n

h = 3 8 d = 3 4 r

h = 4 m

O que nos dá:

r = 4 h 3

No final a questão pede para a resposta ser em metros, a conversão é :

1 m = 100   c m

Passo 2

O volume de um cone é dado por:

V = π r 2 h 3

O que é sempre 1 3 do volume de um cilindro

Utilizando a relação entre raio e altura temos:

V = 1 3 3 4   π r 3

Arrumando:

V = 1 4 π r 3

Passo 3

Derivando a equação no tempo temos:

d V d t = 1 4   π 3 r 2 d r d t

Arrumando:

d V d t = 3 4   π r 2 d r d t  

Se a altura é 4m o raio será de:

r = 4 × 4 3 = 16 3

Substituindo todos os valores:

10 m 3 m i n = 3 4 16 2 3 2 m 2 π d r d t

Explicitando a variação do raio temos:

d r d t = 0.1492 m m i n

Resposta

Convertendo a resposta para cm temos

d r d t = 14.92   c m / min ⁡  

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