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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 29b

Drenagem de um reservatório hemisférico Agua escoa a uma taxa de 6 m 3 /min de um reservatório hemisférico com raio de 13 m, mostrado aqui em perfil.

Responda às questões a seguir, sendo o volume de água em um recipiente hemisférico de raio R dado por V = π 3 y 2 ( 3 R - y ) , quando a água tiver y metros de profundidade.

a. Qual será a taxa de variação do nível da água quando a profundidade for de 8 m?

b. Qual será o raio r na superfície da água quando ela tiver y metros de profundidade?

c. Qual será a taxa de variação do raio r quando a profundidade da água for de 8 m?

Passo 1

Da figura conseguimos ver um triângulo retângulo formada pelo cateto r e pela hipotenusa 13.

Desses valores conseguimos tirar o valor do outro cateto(x) que terá valor igual a:

x =   169 - r 2

Passo 2

Esse cateto que acabamos de encontrar somado com o nível de profundidade da água y terão o mesmo valor que o raio R da esfera.

R = x + y

Resultando em :

13 = 169 - r 2 + y

Passando o y pro outro lado temos :

13 - y = 169 - r 2

Passo 3

Agora elevando ao quadrado os dois lados temos:

169 - 26 y + y 2 = 169 - r 2

Resultando em:

- 26 y + y 2 = - r 2

Resposta

Multiplicando por -1 os dois lados e tirando a raiz, temos:

r = 26 y - y 2

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