Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 21
Mudando as dimensões de um retângulo - O comprimento l de um retângulo diminui a uma taxa de 2 cm/s, enquanto a largura w aumenta a uma taxa de 2 cm/s. Determine as taxas de variação para (a) a área, (b) o perímetro e (c) os comprimentos das diagonais do retângulo quando l = 12 cm e w = 5 cm. Quais medidas estão diminuindo e quais estão aumentando?
Passo 1
Para fazer essa questão é importante que você entenda o que está sendo de certa forma desenhado para você na questão. Para isso iremos ilustrar o que está sendo feito na figura abaixo. Inicialmente temos o retângulo pontilhado azul e ele com ele agarramos um de nosso vértices e esticamos a sua largura e comprimimos seu comprimento até chegar na forma de como está o retângulo preto. Simples né?
Além de entender o que está sendo dito anotar as variáveis que estão sendo ditas na questão:
No momento em que a largura(l) e o comprimento(w) são iguais a 12 cm e 5 cm respectivamente.
Passo 2
Para a letra a, pede-se a variação da área, e a área pode ser escrita da seguinte forma:
E sua variação no tempo pode ser escrita da seguinte forma:
Para derivar essa função precisamos derivar as variáveis separadamente, sendo uma regra da cadeia composta(aquele que precisa fazer a árvore).
Então ficamos com a equação abaixo:
Substituindo os valores temos:
Passo 3
Para a letra b temos pede-se a variação do perímetro e essa função tem a seguinte equação :
Fazendo-se a derivada no tempo tem-se:
Substituindo os valores temos:
Passo 4
Para a letra c pede-se a variação da diagonal do retângulo e ela pode ser dada pela seguinte equação:
Derivando-se no tempo temos:
Como , podemos isolar a de forma a ficarmos com:
Poderia se derivar direto de s invés de o resultado é exatamente o mesmo. Agora substituindo os valores temos:
Resposta
Então nossas respostas ficam:
- +14 , e está aumentando
- 0 , e não está se alterando está constante( o que é fácil ver uma vez que aumentamos o comprimento na mesma taxa da largura, então realmente o cercado não se altera)
- - , e está diminuindo