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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 24

Um avião está voando horizontalmente a uma altitude constante de 4.000   p é s acima de um ponto de observação fixo (ver figura abaixo). Em um certo instante, o ângulo de elevação θ é de 30 °   e está decrescendo, enquanto a velocidade do avião é de 300   m i l h a s / h .

(a) Com que velocidade estará θ decrescendo naquele instante? Expresse o resultado em graus por segundo.

(b) Com que rapidez estará variando a distância entre o avião e o ponto de observação naquele instante? Expresse o resultado em p é s / s . Use 1   m i l h a   =   5.280   p é s .

Passo 1

Vamos definir como x a distância do observador até a linha vertical que passa pelo avião, em um instante qualquer. E como D a distância do observador até o avião:

Podemos falar então que:

sin ⁡ θ = 4000 D

cos ⁡ θ = x D

Passo 2

Derivando essas duas expressões teremos:

cos ⁡ θ = x D               ⇒           D cos ⁡ θ = x

d d t ( D cos ⁡ θ ) = d x d t

Pela derivada do produto:

d D d t cos ⁡ θ + D d cos ⁡ θ d t = d x d t

Usando a Regra da Cadeia:

d D d t cos ⁡ θ - D sin ⁡ θ   d θ d t = d x d t                               e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 3

Derivando agora o seno:

sin ⁡ θ = 4000 D                 ⇒           D sin ⁡ θ = 4000

d d t ( D sin ⁡ θ ) = d 4000 d t    

Pela derivada do produto e usando que derivada de constante é zero:

d D d t sin ⁡ θ   + D d sin ⁡ θ d t = 0

Pela regra da cadeia:

d D d t sin ⁡ θ   + D cos ⁡ θ d θ d t = 0                       e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 4

Agora vamos ver os dados que ele dá pra gente:

θ =   30 °   e velocidade do avião de 300   m i l h a s / h , ou seja:

d x d t = 300     m i l h a s h =     1.584.000   p é s h   =   440   p é s / s

Além disso podemos falar que naquele instante

sin ⁡ θ = 1 2 = 4000 D                               ⇒                   D = 8000   p é s

cos ⁡ θ = 3 2

Passo 5

(a)

Relacionando as equações (1) e (2) temos que

d D d t cos ⁡ θ - D sin ⁡ θ   d θ d t = d x d t                               e q u a ç a o   ( 1 )

d D d t sin ⁡ θ   + D cos ⁡ θ d θ d t = 0                                 e q u a ç ã o   ( 2 )

Substituindo (2) em (1):

- 1 sin ⁡ θ D cos ⁡ θ d θ d t cos ⁡ θ - D sin ⁡ θ   d θ d t = d x d t

- ( cos ⁡ θ ) 2   sin ⁡ θ D d θ d t - D sin ⁡ θ   d θ d t = d x d t

Substituindo os dados que encontramos:

- ( 3 2 ) 2   1 2 ( 8000 ) d θ d t - ( 8000 ) 1 2   d θ d t = 440

- 3 2 ( 80 0 ) d θ d t - ( 80 0 ) 1 2   d θ d t = 44

- 3 ( 4 0 0 ) d θ d t - ( 40 0 )   d θ d t = 44

- 16 0 0   d θ d t = 44

d θ d t =   - 11 400     ° / s

Passo 6

(b)

Usando a equação (2):

d D d t sin ⁡ θ   + D cos ⁡ θ d θ d t = 0  

d D d t 1 2 ⁡   + 8000 3 2 - 11 400   = 0  

d D d t 1 2 ⁡ = 800 3 2 11 400    

dD dt ⁡ = 800 ( 3 ) 11 400   = 22 3   p é s / s

Resposta

(a)   - 11 400     ° / s

(b) 22 3   p é s / s

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