Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 48
(a) Dê um argumento geométrico para mostrar que
(b) Use o resultado de (a) para provar que
(c) Use o resultado de (b) para provar que
e, portanto, que
(d) Use o resultado em (b) para provar que
Passo 1
(a) Vamos refletir. A gente tem que:
E essa integral do meio calcula a área embaixo da curva entre esses valores de . Vamos colocar isso num gráfico:
A área que a gente quer achar está entre e , e abaixo dessa curva azul. Repara que essa área é menor do que o retângulo de área:
Mas é maior do que o retângulo de área:
Colocando isso numa inequação:
E isso é exatamente o que precisávamos provar!
Passo 2
(b) Vamos calcular a integral do meio da inequação:
Lembrando das propriedades de log:
Substituindo isso na inequação:
Passo 3
(c) Vamos partir da inequação:
Podemos aplicar a função exponencial natural em todos os termos:
Depois elevar todos os termos a e usar propriedade de potência:
Passo 4
Vamos aplicar o limite de em todos os termos:
Resolvendo o da direita separadamente:
Se substituirmos , ele vai dar uma indeterminação . Podemos usar L’Hospital:
Voltando para as continhas de cima:
E a nossa inequação fica:
Pelo Teorema do Confronto, a gente tem que:
Passo 5
(d) Na letra (c) a gente já tinha saído de (b) e chegado em
Daí a gente já tem que:
Vamos agora trabalhar com:
Podemos elevar os dois lados a e usar propriedade de potência:
Juntando as duas inequações:
Resposta
Prova nos passos