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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 61

Encontre todos os valores de x * no intervalo dado cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio para Integrais e explique o que esses números representam.

(a) f x = x ; 0,3

(b) f x = 1 x ; [ 1 , e ]

Passo 1

Para o item (a), utilizamos a expressão do Teorema do Valor Médio para Integrais:

∫ 0 3 x d x = f x * 3 - 0 = 3 ( x * )

No entanto,

∫ 0 3 x d x = 2 x x 3 0 3 = 6 3 3 = 2 3

Então,

3 x * = 2 3

x * = 2 3 3

x * = 2 3 3 2 = 4 × 3 9 = 4 3

Passo 2

Agora, para o item (b):

∫ 1 e 1 x d x = f x * e - 1 = e - 1 1 x *

No entanto,

∫ 1 e 1 x d x = ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1

Então,

e - 1 1 x * = 1

e - 1

Prontinho!!

Resposta

(a) 4 3

(b) e - 1

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