Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 9
(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... A questão nos dá a seguinte função:
Queremos calcular os intervalos em que f é crescente ou decrescente, os valores máximo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Muita coisa, né??
Vamos devagarinho que vai dar tudo certo!! 😉
Passo 2
Para achar os números críticos de , derivamos:
Reorganizamos:
Para completarmos os quadrados, precisamos de dois números multiplicados sejam iguais a 6. Então,
Logo, para , o valor de pode ser ou , montamos a tabela e analisamos as equações:
Passo 3
Para os valores de máximo e mínimo, analisamos os sinais de acordo com o Teste da Primeira Derivada.
Como o sinal de muda de positivo para negativo em , o teste nos diz que há um máximo local em e o valor máximo local é
E o mínimo é em , pois é onde o sinal muda de negativo para positivo. Esse valor é de:
Passo 4
Com os valores já calculados agora determinamos os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão pelo Teste da Segunda derivada. Fazendo:
Então, temos que quando , ,, então, .
E, para , .
Portanto, a concavidade é para cima em e para baixo em .
O ponto de inflexão é onde , logo
Dessa forma, podemos dizer que:
Resposta
(a)
(b) e
(c).