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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 20

Encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando os Testes da Primeira e da Segunda Derivadas.

f x = x 2 x - 1

Passo 1

Vamos começar esse probleminha derivando a função,

f x = x 2 x - 1

Fazendo pela regra da cadeia temos que:

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

Pelo teste da Primeira Derivada f ' x > 0 quando x < 0 ou x > 2 . E para, f ' x < 0 , o valor de x precisa ser 0 < x < 1 ou 1 < x < 2 . Com esses valores podemos dizer que quando f ' muda de positivo para negativo x = 0 e esse valor de máximo é

f 0 = 0 2 0 - 1

f 0 = 0

Quando f ' muda de negativo para positivo x = 2 , temos um valor de mínimo que é

f 2 = 2 2 2 - 1

f 2 = 4

Passo 2

Fazendo pelo teste da segunda derivada,

f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2

f ' ' x = x 2 x - 1

f ' ' x = 2 x - 1 3

Temos, portanto, que quando f ' ' ( x ) = 0 , x = - 2 ,   f ' ' 0 = - 2 < 0 . Então,

f 0 = 0 2 0 - 1

f 0 = 0

f 0 = 0   é um máximo local.

Quando f ' ' 2 = 2 > 0 , temos então um valor de mínimo, que equivale a

f 2 = 2 2 2 - 1

f 2 = 4

f 2 = 4 é um valor de mínimo local.

Então fica a seu critério escolher um dos testes, mas o teste da Primeira derivada é o mais simples até mesmo pela resolução da derivada

Resposta

x = 0 e esse valor de máximo é f 0 = 0 . E, x = 2 , é um valor de mínimo que corresponde a f 2 = 4 .

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