Uma artista deseja criar uma forma rudimentar de triângulo usando ladrilhos quadrados uniformes colados pelas arestas. Ela coloca n ladrilhos em fila para formar a base do triângulo e, então, faz cada linha sucessiva com dois ladrilhos a menos que a precedente. Ache uma fórmula para o número de ladrilhos usados na peça. [Sugestão: Sua resposta irá depender de n ser par ou ímpar.]

Passo 1

Sabe aquela brincadeira de torre de copos? É quase isso, só que com quadrados aqui. A cada camada vai diminuindo dois quadrados até chegar no topo.

Vamos começar considerando a quantidade n (que é a quantidade de ladrilhos da base) sendo par.

Nesse caso teremos:

n = 2 m

Aí nossa quantidade de ladrilhos seria...

2 m + 2 m - 1 + … + 2

Então podemos representar pelo somatório:

∑ k = 1 m 2 k

E aí resolvendo, ficamos com:

2 ∑ k = 1 m k = 2 m m + 1 2 = m m + 1 = m 2 + m

Voltando pra n agora, m = n 2 :

= n 2 2 + n 2

=   n 2 + 2 n 4

E essa é a quantidade total de ladrilhos quando n é par😉

Passo 2

Vamos ver quando é ímpar...

n = 2 m + 1

Aí a sequência seria:

2 m + 1 + 2 m - 1 + … + 1

Jogando pro somatório, fazemos:

∑ k = 1 m + 1 2 k - 1

Resolvendo o somatório agora:

2 ∑ k = 1 m + 1 k -   ∑ k = 1 m + 1 1

= 2 m + 1 m + 2 2 - m + 1

= m 2 + 3 m + 2 - m - 1

= m 2 + 2 m + 1

= m + 1 2

E aí voltando para n ...

m = n - 1 2

= n - 1 2 + 1 2

= n 2 + 2 n + 1 4

Prontinho!

Resposta

n   p a r :   n 2 + 2 n 4

n   í m p a r :   n 2 + 2 n + 1 4  

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