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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.1 - Ex. 19

Seja g x = x para x ≥ 0 .

  1. Determine a taxa de variação média de g x com relação a x nos intervalos 1 ,   2 , 1 ,   1,5 e 1 ,   1 + h .
  2. Faça uma tabela de valores da taxa média de variação de g com relação a x no intervalo 1 ,   1 + h para alguns valores de h que se aproximem de zero, como h = 0,1 ,   0,01 ,   0,001 ,   0,0001 ,   0,00001 e 0,000001 .
  3. O que a sua tabela indica é a taxa de variação de g x com relação a x em x = 1 ?
  4. Calcule o limite, quando h se aproxima do zero, da taxa de variação média de g x com relação a x no intervalo 1 ,   1 + h .

Passo 1

Lembrando que o coeficiente angular é calculado por:

a = ∆ g ∆ x

Assim,

a 1 = ∆ g ∆ x = g 2 - g 1 2 - 1 = 2 - 1 2 - 1 = 0,414213

a 2 = ∆ g ∆ x = g 1,5 - g 1 1,5 - 1 = 1,5 - 1 1,5 - 1 = 0,449489

a 3 = ∆ g ∆ x = g 1 + h - g 1 1 + h - 1 = 1 + h - 1 1 + h - 1 = 1 + h - 1 h

Passo 2

Agora vamos fazer uma tabela de valores para taxa média de variação de g .

Passo 3

Como podemos ver pela letra b.), o coeficiente angular tende a 0,5 quando vamos diminuindo o valor de h para valores próximos a 0 , portanto

a 1 = 0,5

Passo 4

Vamos agora calcular o limite de ∆ g / ∆ x :

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h

Como podemos ver, substituindo h = 0 dá ruim:

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h = 1 + 0 - 1 0 = 0 0

Portanto, precisamos fazer algumas mexidas na equação. Vamos começar multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado:

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h ∙ 1 + h + 1 1 + h + 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 2 h 1 + h + 1 = lim h → 0 ⁡ h h 1 + h + 1

Cortando o h :

lim h → 0 ⁡ h h 1 + h + 1 = lim h → 0 ⁡ 1 1 + h + 1 = 1 1 + 0 + 1 = 1 2 = 0,5  

Resposta

  1. a 1 = 0,414213 ;   a 2 = 0,449489 ;   a 3 = 1 + h - 1 h

  2. 0,5
  3. 0,5
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