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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 18

Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , encontre o coeficiente angular da curva x = f ( t ) ,   y = g ( t ) no valor determinado de t .

18. x   s e n   t + 2 x = t   , t   s e n   t - 2 t = y ,   t = π

Passo 1

E aí, tudo bem? Ficou com dúvida em como resolver essa questão? Então, vem comigo!

Bom, a questão pede o coeficiente angular da curva. O problema é que não temos uma expressão explícita para x em termos de t . Pro y , já tá tudo ok, pro x ainda temos que fazer algumas manipulações:

x   s e n   t + 2 x = t

⇒ x (   s e n   t + 2 ) = t

⇒ x = t s e n   t   +   2

Beleza, vamos dar continuidade.

Passo 2

Com as expressões para x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , podemos calcular as derivadas em relação a t :

d x d t = d d t t s e n   t   +   2 = 1   ⋅   ( s e n   t   +   2 )   -   t   ⋅   c o s   t ( s e n   t   +   2 ) 2 = s e n   t   -   t   c o s t   +   2 ( s e n   t   +   2 ) 2

d y d t = d d t t   s e n   t - 2 t = s e n   t   + t c o s t - 2

Passo 3

Agora podemos obter o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = s e n   t   +   t   c o s t   -   2 s e n   t   -   t   c o s t   +   2 ( s e n   t   +   2 ) 2 = ( s e n   t   +   t   c o s t   -   2 ) ( s e n   t   +   2 ) 2 s e n   t   -   t   c o s t   +   2

Em t = π , esse coeficiente fica

y ' | t = π = ( s e n   t   +   t   c o s t   -   2 ) ( s e n   t   +   2 ) 2 s e n   t   -   t   c o s   t   +   2 | t   =   π =   ( -   π   ⋅   1   -   2 ) ( 2 ) 2   π   ⋅   1   +   2 =   - 4

⇒ y ' | t = π = 4 ( -   π   -   2 )     π     +   2 =   - 4   π   +   2     π     +   2

⇒ y ' | t = π =   - 4

É só isso por enquanto. Até mais!

Resposta

- 4

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