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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 21

21. Encontre a área sob um arco da ciclóide:

x = a ( t - s e n t ) , y = a ( 1 - c o s t ) .

Passo 1

E aí, galerinha! Estamos entrando nos exercícios de cálculo de área. Ficaram com dúvida nessa questão? Então, vem comigo!

Como a questão pede a área sob um arco de ciclóide, temos que usar

A = int_0^(2 pi) y d x

Aqui, nós usamos o intervalo só de 0 a 2 pi porque queremos a área só sob um arco da ciclóide e esse arco é desenhado nesse intervalo.

Passo 2

Usando x = a ( t - s e n t ) , nós obtemos

d x = d [ a ( t - s e n t ) ] = a d t - a c o s t d t = a ( 1 - c o s t ) d t

Agora a gente substitui isso e y = a ( 1 - c o s t ) na fórmula da área

A = int_0^(2 pi) y d x = int_0^(2 pi) a^2 ( 1 - c o s t )^2 d t

A = int_0^(2 pi) a^2 ( 1 - 2 c o s t + c o s^2 t )^() d t

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente

int_0^(2 pi) a^2 d t = 2 pi a^2

int_0^(2 pi) a^2 ( - 2 c o s t ) d t = - a^2 s e n t |_0^(2 pi) = - a^2 ( 0 - 0 ) = 0

int_0^(2 pi) a^2 c o s^2 t d t = a^2 int_0^(2 pi) ((1 + c o s 2 t)/(2)) d t = a^2 ((t)/(2) + (s e n 2 t)/(4))_0^(2 pi)

=> int_0^(2 pi) a^2 c o s^2 t d t = a^2 ((2 pi)/(2) - 0 + (s e n 4 pi)/(4) - (s e n 0)/(4))_^() = a^2 pi

Assim, a área sob o arco da ciclóide é

A = int_0^(2 pi) a^2 ( 1 - 2 c o s t + c o s^2 t )^() d t = 2 a^2 pi + a^2 pi = 3 a^2 pi

Até a próxima!

Resposta

3 a^2 pi

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