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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 31

Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.

31. x = c o s   t ,   y = 2 + s e n   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π ,   e i x o   x

Passo 1

E aí, pessoal! Bora lá para mais uma questão?

Nessa questão temos que calcular a área da superfície gerada girando as curva

x = c o s   t ,   y = 2 + s e n   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π ,

em torno do eixo x . Para isso, vamos usar a fórmula

S = ∫ 0 2 π 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t

Lembrando que essa é a fórmula para quando a curva é girada em torno do eixo x . Fica atento, hein? Bora lá!

Passo 2

Vamos começar com as derivadas

d x d t = d d t   c o s   t =   - s e n   t  

d y d t = d d t ( 2 + s e n   t ) =   c o s   t  

Calculando a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t = 1  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = 1

onde usamos c o s 2 t + s e n 2 t = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral

S = ∫ 0 2 π 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t   = ∫ 0 2 π 2 π ⋅ ( 2 + s e n   t ) ⋅ 1   d t

⇒ S = 4 π ∫ 0 2 π d t   + 2 π ∫ 0 2 π s e n   t   d t

⇒ S = 4 π t | 0 2 π   + 2 π   ( - c o s t ) | 0 2 π

⇒ S = 4 π ( 2 π - 0 )   + 2 π   ( - c o s   ( 2 π ) + c o s 0 ) = 8 π 2

Gostou de resolver essa questão comigo? Então, nos vemos na próxima!

Resposta

S = 8 π 2

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