Enunciado

A ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta

B ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação cartesiana da curva

x = t 2

y = t 3

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade juntos.

Esse é um exercício que te ajuda a criar gráficos. Algo muito importante, principalmente quando formos avançando e chegando por exemplo em cálculo 3.

Aqui a gente tem a curva parametrizada:

x = t 2

y = t 3

E precisamos esboçar seu gráfico marcando pontos. Isso é, iremos assumir alguns valores para t e encontrar os seus respectivos valores em x e y .

Já para a letra b), iremos isolar o valor de t em qualquer uma das equações, e após isso iremos substituir na outra equação, tendo assim uma equação dependente apenas de x e y .

Passo 2

Vamos fazer o seguinte, vamos criar uma tabela com valores de t ,     x ,     y e plotar esses pontos num gráfico.

Beleza, tendo esses pontos. Vamos analisar eles. Observe que eles são simétricos, isso é y t = y - t Isso vai fazer nosso gráfico ficar espelhado. E como x não tem valores negativos, vamos ver apenas o primeiro e segundo quadrante (olhando em sentido horário) com nossa curva. Vamos plotar nossos pontos e criar o gráfico utilizando o GeoGebra, mas você pode utilizar o software que preferir.

Passo 3

Plotando os pontos no software, e seguindo a tendencia dos pontos, temos o seguinte gráfico. Mas veja que caso queira maior precisão no traço do gráfico, basta aumentar a quantidade de pontos da sua tabela.

Podemos perceber que conforme t cresce y cresce junto.

Passo 4

Letra b)

Agora vamos voltar do mundo paramétrico para o cartesiano. A melhor solução para isso é isolar alguma das variáveis e substituir na outra.

Matematicamente será bem tranquilo, mas você vai precisar de uma intuição para qual a melhor variável para isolar seja ela x ou y . Vamos cair dentro então:

x = t 2

y = t 3

Desta vez não tem diferença qual dos lados isolamos. Vamos pegar então o x

x = t ²

x = t  

Substituindo em y

y = t 3

y = x 3

y = x 3 / 2

Essa função não descreve tão bem assim nossa curva, porque x   tem uma limitação no domínio que   x = t 2   não possui.

O mais certo seria dizer que

t =   ± x

y =   ±   x 3 / 2

Bem, terminamos por aqui. Esses exercícios estão no início bem intuitivos, com o tempo vamos aprender mais ferramentas para construir gráficos. Te vejo na próxima resolução: )

Resposta

  1. y =   ±   x 3 / 2
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