Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 74
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz a equação
Passo 1
Show de bola, galera. Questãozinha de provar teorema com derivadas parciais, vamos lá!
A questão joga muita informação pra gente então vamos primeiro dar nomes aos bois:
A função produção de Cobb-Douglas é
E ela tenta modelar a Produção () em função do Trabalho () e do Capital (), ou seja, uma função de duas variáveis!
E ele nos pede para provar que
Mas como fazemos isso?
Em qualquer questão de provar igualdades assim, nosso estratégia vai ser: Ir encontrando os termos da expressão que ainda não temos e manipular a expressão até chegarmos exatamente na proposta!
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais e que estão na expressão!
Relembrando: Para encontrar uma derivada parcial você trata como constante as variáveis que não estão envolvidas na derivação!
Para , temos
Ou ainda
De forma que
Da mesma forma para encontrar !
Temos
Ou ainda
De forma que
Passo 3
Show, agora vamos substituir essas expressões lá equação que a questão propôs!
Como multiplica podemos somar o expoente e ficamos com
E mesma coisa para
Então nossa equação da esquerda fica
Podemos colocar em evidencia e ficamos com
E como o enunciado diz que então
O que prova a equação proposta no enunciado!
Resposta
A expressão
Está correta!