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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 43

Atingindo uma bola de beisebol com resistência linear sob uma rajada de vento Considere novamente o problema sobre beisebol no Exemplo 5. Desta vez, considere um coeficiente de resistência de 0,08 e uma rajada de vento instantânea que adicione um componente de –17,6i (pés/s) à velocidade inicial no instante em que a bola é atingida.

a. Encontre uma equação vetorial para a trajetória da bola.

b. Que altura a bola alcança e quando atinge sua altura máxima?

c. Encontre o alcance e o tempo de voo da bola.

d. Quando a bola está a 35 pés de altura? A que distância (medida pelo solo) a bola está do rebatedor a essa altura?

e. Um alambrado de 20 pés de altura está a 380 pés do rebatedor na direção do voo da bola. O rebatedor fez um home run? Em caso afirmativo, qual alteração no componente horizontal da velocidade inicial faria a bola se manter no campo? Em caso negativo, qual alteração permitiria que fosse um home run? (Observação: se a bola passar por cima do alambrado, o jogador poderá dar uma volta no campo e marcar o ponto, conhecido como home run.)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos anotar as informações antes de tudo.

K = 0,08

Altura inicial: 3 pés.

Velocidade inicial: 152 pés/s.

Anglo de lançamento: 20°.

Componente adicional: -17,6i pés/s

  1. A equação vetorial da posição você lembra bem,

    2. r t = x t i + y t j

    E a equação que descobrimos para o exemplo é:

    r t = 1 k 1 - e - k t ( v 0 cos ⁡ α + v 0 x i + y 0 + v 0 k 1 - e - k t s e n   α + g k 2 1 - k t - e - k t j

    Então só precisamos substituir os valores:

    r t = 1 0 , 08 1 - e - 0 , 08 t ( 152 cos ⁡ 20 ° - 17,6 i + 3 + 152 0 , 08 1 - e - 0 , 08 t s e n   20 ° + 32 0 , 08 2 1 - 0 , 08 t - e - 0 , 08 t j

    Passo 2

  2. a altura máxima vai ser obtida derivando a equação de y em relação a t e calculando o tempo. Para isso, como a equação é bastante complexa e muito difícil de se resolver na mão, iremos utilizar a ferramenta Wolfram para resolver.

    3. d y d t = 0 = - 400 + 451,987   e - 0 . 08   t

    O tempo para a bola alcançar a altura máxima é 1,527 segundos, substituindo em y para descobrir a altura tempos que y é 41,893 pés.

    Passo 3

  3. Vamos encontrar primeiro o tempo de voo, sendo quando a bola atinge o solo, y é 0.

    4. Usando a ferramenta Wolfram para fazer a conta, descobrimos que a bola atinge 0 em 3,181 segundos.

    O alcance para esse tempo então é:

    x 3,1 81 = 1 0,08 1 - e - 0,08 ⋅ 3,181 152 cos ⁡ 20 ° - 17,6

    x 3,1 81 = 3 51 , 734   p é s

    Passo 4

  4. Para 35 pés de altura, só trocar y por 35. Utilizando novamente a ferramenta Wolfram, descobrimos que os tempos são 0,877 segundo e 2,19 segundos.

    5. O alcance para esses tempos, então, são:

    x 2 , 19 = 1 0,08 1 - e - 0,08 ⋅ 2,19 152 cos ⁡ 20 ° - 17,6

    x 2 , 19 = 2 51,53 p é s

    x 0,877 = 152 0 , 08 1 - e - 0 , 08 ⋅   0 , 877   152 cos ⁡ 20 ° - 17,6

    x 0,877 = 106,028   p é s

    Passo 5

  5. Vamos descobrir o t que a bola chega para rebatedor a 380 pés, para depois encontrar a altura que a bola atinge nesse tempo.

x   t   = 1 0 , 08 1 - e - 0 , 08 ⋅   t 152 cos ⁡ 20 ° - 17,6

3 8 0 = 1 0 , 08 1 - e - 0 , 08 ⋅   t   152 cos ⁡ 20 ° - 17,6

t = 3,475   s

Vamos jogar em y agora para ver se passa o alambrado

y 3,475 = 3 + 152 0 , 08 1 - e - 0 , 08 t s e n   20 ° + 32 0 , 08 2 1 - 0 , 08 t - e - 0 , 08 t

y 3,475 = - 1 5 , 76   p é s

Então, definitivamente, não da para fazer um Home run com essas condições. Bora mudar.

Primeiro temos que encontrar o tempo que a bola chega na altura do alambrado.

Para y = 20 , os tempos são 0,376 segundos e 2,716 segundos. Vamos alterar a componente adicional para 2,716 segundos.

x 2,716 = 1 0,08 1 - e - 0,08 ⋅   t 152 cos ⁡ 20 ° + z

380 = 1 0,08 1 - e - 0,08 ⋅   2,716 152 cos ⁡ 20 ° + z

z = 12,846   p é s / s

Bora pro próximo!

Resposta

  1. r t = 1 0,08 1 - e - 0,08 t ( 152 cos ⁡ 20 ° - 17,6 i + 3 + 152 0,08 1 - e - 0,08 t s e n   20 ° + 32 0,08 2 1 - 0,08 t - e - 0,08 t j
  2. y m a x = 4 1,893   p é s e t = 1 , 527   s .
  3. x 3,181 = 351,734   p é s
  4. x 2,19 = 251,53 p é s e x 0,877 = 106,028   p é s
  5. Não dá para se fazer um home run, precisamos mudar a componente adicional para z = 12,846   p é s / s

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