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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 41

Antiderivadas de funções vetoriais

a. Utilize o corolário 2 do teorema de valor médio para funções escalares para mostrar que, se duas funções vetoriais R1(t) e R2(t) têm derivadas idênticas em um intervalo I, então as funções diferem por um valor vetorial constante por todo I.

b. Utilize o resultado no item (a) para mostrar que se R(t) é qualquer antiderivada de r(t) em I, então qualquer outra antiderivada de r em I é igual a R(t) + C para qualquer vetor constante C.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Força, bora para mais um.

Sabendo que r t = f t i + g t j + h t k , vamos começar.

  1. Se R 1 ( t ) e R 2 ( t ) tem derivadas idênticas no intervalo I, podemos escrever o seguinte,

    2. d R 1 d t = d R 2 d t

    d f 1 d t i + d g 1 d t j + d h 1 d t k = d f 2 d t i + d g 2 d t j + d h 2 d t k

    Podemos escrever então que uma função é igual a outra mais uma constante,

    f 1 t = f 2 t + c 1

    g 1 t = g 2 t + c 2

    h 1 t = h 2 t + c 3

    Então,

    R 1 t = f 1 t i + g 1 t j + h 1 t k = f 2 t + c 1 i + g 2 t + c 2 j + h 2 t + c 3 k

    R 1 t = R 2 t + C

    Sendo C = c 1 i + c 2 j + c 3 k , as funções diferem por um valor C.

    Passo 2

  2. R t é a antiderivada de r(t) no intervalo I, ou seja, R ' t = r t .

Vamos tomar outra função como a antiderivada de r(t), U ' t = r ( t ) , pelo desenvolvimento do item anterior, R ' t = U ' t ⇒ U t = R t + C

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração.

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