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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 13

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.

Equação diferencial: d r d t = 3 2 t + 1 1 / 2 i + e - t j + 1 t + 1 k

Condição inicial: r 0 = k

Passo 1

Fala minha galera querida!! Precisamos descobrir quem é esse r, para isso vamos rearranjar a equação diferencial dada e usar da condição inicial para resolver o problema, vem comigo.

d r d t = 3 2 t + 1 1 / 2 i + e - t j + 1 t + 1 k

Vamos passar dt para o outro lado:

d r = 3 2 t + 1 1 / 2 i + e - t j + 1 t + 1 k d t

E agora integramos dos dois lados:

∫ d r = ∫ 3 2 t + 1 1 / 2 i + e - t j + 1 t + 1 k d t

Integral de dr é o próprio r, já as outras integrais devemos relembrar de quando estudamos integrais, vou dar uma mini revisada:

∫ 3 2 t + 1 1 2 d t = 3 2 1 1 2 + 1 t + 1 1 2 + 1 = 3 2 ⋅ 2 3 t + 1 3 2

∫ e - t d t = - e - t

∫ 1 t + 1 d t = ln ⁡ ( t + 1 )

Substituindo tudo com adição de uma constante C da integral indefinida.

r t = t + 1 3 2 i - e - t j + ln ⁡ t + 1 k + C

Passo 2

Vamos descobrir quanto vale r para t = 0 :

r t = t + 1 3 2 i - e - t j + ln ⁡ t + 1 k + C

r 0 = 0 + 1 3 2 i - e - 0 j + ln ⁡ 0 + 1 k + C

r 0 = i - j + 0 k + C

Passo 3

Mas da condição inicial, sabemos que r 0 = k , então bora substituir para encontrar C.

r 0 = i - j + C

k = i - j + C

C = - i + j + k

Agora sim podemos encontrar a equação r ( t ) :

r t = t + 1 3 2 i - e - t j + ln ⁡ t + 1 k + C

r t = t + 1 3 2 i - e - t j + ln ⁡ t + 1 k - i + j + k

r t = [ t + 1 3 2 - 1 ] i + ( 1 - e - t ) j + [ 1 + ln ⁡ t + 1 ] k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = [ t + 1 3 2 - 1 ] i + ( 1 - e - t ) j + [ 1 + ln ⁡ t + 1 ] k

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