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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 36

Atingindo uma bola de beisebol sob uma rajada de vento Uma bola de beisebol é rebatida quando está 2,5 pés acima do solo. Ela deixa o taco com velocidade inicial de 145 pés/s com um ângulo de lançamento de 23º. No instante em que a bola é atingida, uma rajada de vento instantânea sopra contra a bola, adicionando um componente de –14i (pés/s) à sua velocidade inicial. Um alambrado de 15 pés de altura está a 300 pés do ponto inicial da trajetória da bola no ar na direção do voo.

a. Encontre uma equação vetorial para a trajetória da bola.

b. Que altura a bola atinge e quando alcança sua altura máxima?

c. Encontre o alcance e o tempo de voo da bola, considerando que a bola não é pega.

d. Quando a bola atinge 20 pés de altura? A que distância (medida pelo solo) a bola está do ponto inicial nessa altura?

e. O rebatedor fez um home run? Explique. (Observação: se a bola passar por cima do alambrado, o jogador poderá dar uma volta no campo e marcar o ponto, conhecido como home run.)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos anotar as informações antes de tudo.

Altura inicial: 2,5 pés.

Velocidade inicial: 145 pés/s.

Anglo de lançamento: 23°.

Componente adicional da velocidade: -14i pés/s

  1. A equação vetorial da posição você lembra bem,

    2. r t = x t i + y t j

    Sendo x e y as funções horárias da posição horizontal e vertical.

    x t = v 0 cos ⁡ α t + v 0 x t

    x t = 145 cos ⁡ 23 ° - 14 t

    y t = y 0 + v 0 s e n   α t - 1 2 g t 2

    y t = 2,5 + 145 s e n   23 t - 16 t 2

    Podemos escrever a equação vetorial então:

    r t = 145 cos ⁡ 23 ° - 14 t i + 2,5 + 145 s e n   23 t - 16 t 2 j

    Passo 2

  2. a altura máxima é dada pela fórmula:

    3. y m a x = v 0 s e n   α 2 2 g + y 0

    y m a x = 145   s e n   23 ° 2 2 ⋅ 32 + 2,5

    y m a x = 52,65   p é s

    Agora, bora encontrar o tempo de voo da bola:

    t = v 0 s e n   α g

    t = 145   s e n   23 ° 32

    t = 1 , 7 7   s

    Passo 3

  3. Vamos encontrar primeiro o tempo de voo, sendo quando a bola atinge o solo, y é 0.

    4. y t = y 0 + v 0 s e n   α t - 1 2 g t 2

    0 = 2,5 + 145 s e n   23 t - 16 t 2

    Resolvendo a equação, encontramos que o tempo de voo é t = 3,58   s

    O alcance para esse tempo então é:

    x 3,58 = 145 cos ⁡ 23 ° - 14 3,58

    x 3,58 = 428,31   p é s

    Passo 4

  4. Para 20 pés de altura, só trocar y por 20.

    5. y t = y 0 + v 0 s e n   α t - 1 2 g t 2

    2 0 = 2,5 + 145 s e n   23 t - 16 t 2

    Resolvendo a equação, encontramos que os tempos de voo são t = 3 , 19   s e t = 0,34   s .

    O alcance para esses tempos, então, são:

    x 3 , 19 = 145 cos ⁡ 23 ° - 14 3 , 19

    x 3 , 19 = 382,19   p é s

    x 0,34 = 145 cos ⁡ 23 ° - 14 0,34

    x 0,34 = 40,86   p é s

    Passo 5

  5. Como vimos no item d, é possível a bola atingir os 20 pés de altura e, como o alambrado tem apenas 15, portanto é possível que seja feito um home run.

Bora pro próximo!

Resposta

  1. r t = 145 cos ⁡ 23 ° - 14 t i + 2,5 + 145 s e n   23 t - 16 t 2 j .
  2. y m a x = 52,65   p é s e t = 1,77   s .
  3. x 3,58 = 428,31   p é s .
  4. x 3,19 = 382,19   p é s e x 0,34 = 40,86   p é s
  5. Como vimos no item d, é possível a bola atingir os 20 pés de altura e, como o alambrado tem apenas 15, portanto é possível que seja feito um home run.

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