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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 6

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes .

t 6 + 1 t 6 + t 3

x 5 + 1 x 2 - x x 4 + 2 x 2 + 1

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos da duas funções:

a t 6 + 1 t 6 + t 3

( b ) x 5 + 1 x 2 - x x 4 + 2 x 2 + 1

O que precisamos fazer aqui é decompor essas integrais em frações parciais, dá até a dica pra fazemos igual ao explo 7 do livro!

Só pra refrecar a memória, lá tínhamos:

x 3 + x 2 + 1 x x - 1 x 2 + x + 1 x 2 + 1 3

E chegamos em:

A x + B x - 1 + C x + D x 2 + x + 1 + E x + F x 2 + 1 + G x + H x 2 + 1 2 + I x + J x 2 + 1 3

A gente divide a função em frações parciais mas aqui o problema não pede pra determinarmos os coeficientes A ,   B ,   C …

Passo 2

Vamos começar com a letra (a), nossa função é:

t 6 + 1 t 6 + t 3

Pra começar podemos reescrever fazendo:

t 6 + 1 t 6 + t 3 = t 6 + t 3 + 1 - t 3 t 6 + t 3

Somamos e diminuímos t 3 , agora podemos fazer:

t 6 + t 3 + 1 - t 3 t 6 + t 3 = t 6 + t 3 t 6 + t 3 + 1 - t 3 t 6 + t 3

t 6 + t 3 t 6 + t 3 + 1 - t 3 t 6 + t 3 = 1 + 1 - t 3 t 6 + t 3

Beleza, agora vamos focar em:

1 - t 3 t 6 + t 3

Isolando t 3 do denominador e somar e diminuir

1 - t 3 t 6 + t 3 = 1 - t 3 t 3 t 3 + 1

t 3 + 1 é uma soma de cubos, podemos fatorar da seguinte forma:

t 3 + 1 = t + 1 t 2 - t + 1

Então:

1 - t 3 t 3 t + 1 t 2 - t + 1

t 2 - t + 1 é uma função irredutível, então podemos escrever em funções parciais da seguinte forma:

1 - t 3 t 3 t + 1 t 2 - t + 1 = A t 3 + B t + 1 + C x + D t 2 - t + 1

Então finalmente podemos dizer que:

t 6 + 1 t 6 + t 3 = 1 + A t 3 + B t + 1 + C x + D t 2 - t + 1

Passo 3

Agora a letra (b), temos:

x 5 + 1 x 2 - x x 4 + 2 x 2 + 1

Podemos isolar o x no primeiro termo do denominador:

x 5 + 1 x x - 1 x 4 + 2 x 2 + 1

Agora precisamos fatorar x 4 + 2 x 2 + 1 , que é um quadrado perfeito!

x 4 + 2 x 2 + 1 = x 2 + 1 2

Então ficamos com:

x 5 + 1 x x - 1 x 2 + 1 2

Agora, escrevendo em termos de frações parciais:

A x + B x - 1 + C x + D x 2 + 1 2

Prontinhoo!

Resposta

1 + A t 3 + B t + 1 + C x + D t 2 - t + 1

A x + B x - 1 + C x + D x 2 + 1 2

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Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 2 x - 3 x 3 - x 2
Escreva a forma da decomposição em frações parciais. (Não calcule os valores numéricos dos coeficientes.) 3 x x - 1 x 2 + 6