Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 25a
a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor
inicial
É
(b) Mostre que, se, então a solução do item (a) se reduz a
(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com
e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).
Passo 1
a) Para determinarmos o problema do valor inicial, vamos iniciar com a equação homogenia:
Temos que a equação característica é:
Que possui as respectivas raízes características:
Passo 2
Portanto, a função e na forma fundamental da solução da nossa equação homogenia. Pelo teorema 3.6.1, se a função for contínua, a solução geral da equação diferencial fica:
Onde é a solução particular do equação inicial:
Precisamos determinar nosso Workisiano:
Passo 3
Agora que calculamos nosso workisiano, podemos calcular a solução particular:
Passo 4
Agora substituindo a solução particular agora, na equação da solução geral, temos:
Primeira derivada da formula de Newton-Leibniz, temos:
Agora aplicando as condições iniciais temos que:
Portanto, temos a solução geral como: