a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que, sef ( t )=δ ( t–π ) , então a solução do item (a) se reduz a y=u π t e –( t –π )s e n ( t–π ) . (c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f ( t ) =δ ( t–π ) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

y = u π t e - t - π s e n ( t - π ) Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).

Enunciado

c)Vamos aplicar a transformada de Laplace a nossa equação diferencial homogenia:

Aplicando:

Temos o lado esquerdo de nossa equação final, vamos agora calcular o lado direito.

Trabalhando com o lado direito da equação, aplicando a transformada de Laplace em , temos:

Igualando as duas equações temos:

Aplicando a transformada inversa em , usando a linearidade e os itens 9 e 13 da tabela 6.2.1, temos:

Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).

Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).