A posição de determinado oscilador ligeiramente amortecido satisfaz o problema de valor

Inicial

y ' ' + 0,1 y ' + y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 δ t - k π ,               y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

Note que, exceto pelo termo de amortecimento, esse problema é igual ao Problema 18.

a) Tente prever a natureza da solução sem resolver o problema.

b) Teste sua previsão encontrando a solução e desenhando seu gráfico.

c) Determine o que acontece após o final da sequência de impulsos.

Passo 1

a) bem vamos tentar prever a solução sem resolver. Nós poderíamos calcular a Laplace inversa da função na nona forma da tabela 6.2.1, oque teria criado uma exponencial com fatores e expoentes negativos na solução. Isto provavelmente mudaria a amplitude da solução do problema 18 e gradualmente iria diminuindo t e aumentando sua amplitude, após certo valor de t.

Passo 2

b) Pela transformada de Laplace do lado esquerdo nós teremos a equação no domínio de s , e de acordo com a linearidade da tabela de Laplace 6.2.2.

L y ' ' + 0,1 y ' + y = L y ' ' + 0,1 L y ' + L y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 0,1 s Y s - 0,1 y 0 + Y s

= s 2 Y s + 0,1 s Y s + Y s

= s 2 + 0,1 s + 1 Y s

Bem utilizando os calculas que já foram feitos na questão 18, temos que o lado direito da nossa igualdade é:

∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s

Igualando as duas equações temos:

s 2 + 0,1 s + 1 Y s = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s

Simplificando temos:

Y s = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s s 2 + 0,1 s + 1 =   ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 e - k π s s + 1 20 2 + 399 400

Y s = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 20 399     e - k π s 399 20 s + 1 20 2 + 399 400

Utilizando a tabela 6.2.1 e olhando os itens 9 e 13, para aplicarmos a transformada inversa de Laplace, temos:

y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 20 399 u k π t e - t - k π 20 s e n 399 20 t - k π

Passo 3

c) Aplicando a função que acabamos de calcular, teremos o seguinte gráfico:

Após a sequencia de pulso terminar, a função continua sendo uma função oscilatória, mas cada vez mais com uma amplitude diminuindo.

Resposta

b)

y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 20 399 u k π t e - t - k π 20 s e n 399 20 t - k π

c) Após a sequencia de pulso terminar, a função continua sendo uma função oscilatória, mas cada vez mais com uma amplitude diminuindo.

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