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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 15

Considere o problema de valor inicial

y ' ' +   γ y ' +   y   =   k δ ( t   –   1 ) ,       y ( 0 )   =   0 ,       y '   ( 0 )   =   0 ,

em que k é o tamanho de um impulso em t   =   1 , e γ é o coeficiente de amortecimento (ou

resistência).

(a) Seja γ = 1 2 . Encontre o valor de   k para o qual a resposta tem um valor máximo de 2 ; chame

esse valor de k 1 .

(b) Repita o item (a) para γ = 1 4 .

(c)Determine como k 1 varia quando γ diminui. Qual o valor de e k 1 quando γ = 0 ?

Passo 1

Para resolvermos está equação, basta aplicarmos a transformada de Laplace, simplificarmos ao máximo e executarmos a Laplace inversa e aplicar os valores iniciais.

Nós poderias fazer isso tudo de novo mas isto já está resolvendo na questão (14) do capítulo 6, seção 5. Portanto, apenas abordarei oque cabe a está questão.

Isto implica que para você entender esta questão é essencial ter feito a questão (14), da uma olhadinha lá XD.

a) Como temos o nosso valor máximo igual 2 e temos o valor de y 1 podes calculamos na questão 14, então temos:

2 = k 1 ∙ y 1

Como y 1 ≈ 0,71153 , temos:

k 1 ≈ 2 0,71153 ≈ 2,8108

Passo 2

b) Utilizando o mesmo raciocínio no item (a) e utilizando o outro valor de y 1 ,calculado na questão 14(c), temos que:

2 = k 1 ∙ y 1

Como nosso novo y 1 ≈ 0,83351

k 1 ≈ 2 0,83351 ≈ 2,3995

Passo 3

c) bem coletando o resultado de k 1 a o resultado da questão 14(d), temos:

lim γ → 0 + ⁡ k 1 = lim γ → 0 + ⁡ 2 y 1 = 2

Portanto, k 1 está diminuindo com proporção no valor 2, se γ = 0 , teremos y 1 = 1 , e k 1 = 2

Resposta

a)   k 1 ≈ 2,8108

b)   k 1 ≈ 2,3995

c) k 1 = 2

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