Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 12
- Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
- Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
- Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.
Passo 1
Vamos substituir alguns pontos do intervalo na função e observar seu comportamento a fim de auxiliar no esboço do gráfico da função.
Fazendo o esboço de no intervalo temos:
Passo 2
Como é a subtração de funções contínuas, temos que é contínua em todo seu domínio, em particular também será continua em .
Como e são deriváveis em , temos que também é derivável neste intervalo.
Observe que , logo satisfaz as três condições do teorema de Rolle. Assim, existe tal que .
Passo 3
Pelas regras de derivação temos:
Como queremos , temos:
Substituindo em temos:
Resposta
As três condições do teorema de Rolle são satisfeitas e no ponto tem-se uma reta tangente horizontal.
Exercícios de Livros Relacionados
Teorema do valor médiob. Quantas soluções a equação s e n ² t - 3 t = 5 ² possui? Justifique sua resposta.
Teorema do valor médioa. Demonstre que g ( t ) = s e n ² t - 3 t ² decresce em cada intervalo de seu domínio.
Teorema do valor médioa. Demonstre que y = t g θ é crescente em cada intervalo de seu domínio. b. Se a conclusão no item (a) estiver mesmo correta, como você explica o fato de t g π = 0 ser menor do q
A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas. f x = x 2 3 ,[ - 1,8 ]
A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas. f x = x 4 5 ,[ 0 ,1 ]