Avalie a integral.

∫ y s i nh ⁡ y d y

Passo 1

Sabe aquele problema “mamão com açúcar”? Pois é esse! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = y                     ;                 d u = d y

d v = sinh ⁡ y d y                     ;                       v = cosh ⁡ y

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ y sinh ⁡ y d y = y cosh ⁡ y - ∫ cosh ⁡ y d y

Sabendo que ∫ cosh ⁡ y d y = sinh ⁡ y + C , logo :

∫ y sinh ⁡ y d y = y cosh ⁡ y - sinh ⁡ y + C

Uma observação bem básica, você pode perceber que a integral do cosseno hiperbólico ou do seno é basicamente igual a integral do seno e cosseno da seguinte forma:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x + C

E por hoje é só, pessoal!

Resposta

∫ y sinh ⁡ y d y = y cosh ⁡ y - sinh ⁡ y + C

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