Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 36

Calcule a integral.

36.

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x

Passo 1

Pessoal, nessa questão devemos calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x

Para isso, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo e o teorema da variação total, onde:

∫ a b f x d x = F b - F a

Sendo F a antiderivada de f :

F ' x = f x

Dessa forma, precisamos encontrar qual função F ( x ) que quando derivada resulta em f ( x ) e então substituir os valores do intervalo da integral definida.

Passo 2

Mexendo um pouco na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x

= ∫ 0 1 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2   d x

Que resulta em:

= ∫ 0 1 1 + 2 x 2 + x 4 1 + x 2   d x

= ∫ 0 1 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + x 6   d x

Agora, devemos encontrar qual função que quando derivada resulta em:

f x = 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + x 6

Passo 3

Podemos usar aqui a regra de antiderivada para uma potência de x :

x n = x n + 1 n + 1 '

Ea regra de antiderivada para uma constante:

C = C x '

Dessa forma, teremos a seguinte primitiva:

f x = 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + x 6

F x = x + 3 x 3 3 + 3 x 5 5 + x 7 7

Simplificando:

F x = x + x 3 + 3 x 5 5 + x 7 7

Passo 4

Aplicando agora o teorema da variação total, teremos:

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x = F b - F a

= 1 + 1 3 3 + 3 1 5 5 + 1 7 7 - 0 + 0 + 0 + 0

= 1 + 1 3 + 3 5 + 1 7

E fazendo o mmc, temos:

= 105 + 35 + 3 21 + 15 105

= 218 105

E tá pronto o sorvetinho!

Resposta

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x = 218 105

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

34. Ache o centroide da região, no primeiro quadrante, limitada pela curva x + 2 2 y = 4 - x .
33. Ache o centroide da região limitada pela curva y = ( x - 1 ) / ( x 2 - 5 x + 6 ) , pelo eixo x e pelas retas x = 4ex = 6 .
25. Se R for a região do Exercício 24, use o teorema de Pappus para encontrar o volume do sólido de revolução gerado com a revolução de R em torno da reta x - y = r . (Sugestão: use o resultado do Exe
4. Ache o centro de massa de três partículas tendo massas de 3, 7 e 2kg localizadas nos pontos (2,3), (-1,4) e (0,2), respectivamente
Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.b) A região limitada pelo eixo x e pelo semicírculo y = 9 - x 2