Calcule a integral.

36.

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x

Passo 1

Pessoal, nessa questão devemos calcular a seguinte integral:

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x

Para isso, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo e o teorema da variação total, onde:

∫ a b f x d x = F b - F a

Sendo F a antiderivada de f :

F ' x = f x

Dessa forma, precisamos encontrar qual função F ( x ) que quando derivada resulta em f ( x ) e então substituir os valores do intervalo da integral definida.

Passo 2

Mexendo um pouco na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x

= ∫ 0 1 1 + x 2 1 + x 2 1 + x 2   d x

Que resulta em:

= ∫ 0 1 1 + 2 x 2 + x 4 1 + x 2   d x

= ∫ 0 1 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + x 6   d x

Agora, devemos encontrar qual função que quando derivada resulta em:

f x = 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + x 6

Passo 3

Podemos usar aqui a regra de antiderivada para uma potência de x :

x n = x n + 1 n + 1 '

Ea regra de antiderivada para uma constante:

C = C x '

Dessa forma, teremos a seguinte primitiva:

f x = 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + x 6

F x = x + 3 x 3 3 + 3 x 5 5 + x 7 7

Simplificando:

F x = x + x 3 + 3 x 5 5 + x 7 7

Passo 4

Aplicando agora o teorema da variação total, teremos:

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x = F b - F a

= 1 + 1 3 3 + 3 1 5 5 + 1 7 7 - 0 + 0 + 0 + 0

= 1 + 1 3 + 3 5 + 1 7

E fazendo o mmc, temos:

= 105 + 35 + 3 21 + 15 105

= 218 105

E tá pronto o sorvetinho!

Resposta

∫ 0 1 1 + x 2 3 d x = 218 105

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