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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 24

Avalie a integral.

int tan^4 x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos ver:

Podemos tornar a tangente aplicando a secante, da seguinte forma:

int tan^2 x tan^2 x d x

int tan^2 x ( 1 - sec^2 x ) d x

int tan^2 x sec^2 x d x - int tan^2 x d x

int tan^2 x sec^2 x d x - int ( 1 - sec^2 x ) d x

Pronto, mas ainda não tá tudo certo! Por isso fazemos uma substituição na primeira integral:

u = tan x d u = sec^2 x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Aplicando a substituição na integral, temos

int tan^2 x sec^2 x d x - int (1 - sec^2 x) d x = int u^2 d u - int (sec^2 x - 1) d x

Resolvendo a integral, fica assim:

int u^2 d u - int (sec^2 x - 1) d x = (u^3)/(3) - [ tan x - x ]

Substituindo o nosso valor de u :

int tan^4 x d x = (1)/(3) tan^3 x - tan x + x + C

Finishh!! :)

Resposta

int tan^4 x d x = (1)/(3) tan^3 x - tan x + x + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.