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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 14

Avalie a integral.

int t^3 e^t d t

Passo 1

Esse problema é daqueles que precisamos ter calma e atenção! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = t^3 ; d u = 3 t^2 d t

d v = e^t d t ; v = e^t

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int t^3 e^t d t = t^3 xx e^t - int e^t xx 3 t^2 d t

Resolvendo:

int t^3 e^t d t = t^3 xx e^t - 3 int e^t xx t^2 d t

Passo 3

Precisamos integrar por partes a segunda integral, então fazendo:

u = t^2 ; d u = 2 t d t

d v = e^t d t ; v = e^t

Substituindo:

int e^t xx 3 t^2 d t = t^2 e^t - int e^t 2 t d t

int e^t xx 3 t^2 d t = t^2 e^t - 2 int e^t t d t

Passo 4

Ainda não temos a integral, fazemos a terceira integral por partes, onde

u = t ; d u = d t

d v = e^t d t ; v = e^t

Substituindo, novamente

int e^t xx 3 t^2 d t = t e^t - int e^t d t

int e^t xx 3 t^2 d t = t e^t - e^t + C

Pronto! Agora precisamos volta para a primeira integral. Substituindo a terceira na segunda temos:

int e^t xx 3 t^2 d t = t^2 e^t - 2 [t e^t - e^t] + C

int e^t xx 3 t^2 d t = t^2 e^t - 2 t e^t + 2 e^t + C

Essa é a segunda! Agora voltamos ao inicio substituindo ela na primeira:

int t^3 e^t d t = t^3 xx e^t - 3 [t^2 e^t - 2 t e^t + 2 e^t] + C

Resolvendo ela...

int t^3 e^t d t = t^3 e^t - 3 t^2 e^t + 6 t e^t - 6 e^t + C

Prontinho!!

Resposta

int t^3 e^t d t = t^3 e^t - 3 t^2 e^t + 6 t e^t - 6 e^t + C

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