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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 51

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

5 1 .   ∫ cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t s e n 2 3 t - 1 4

Passo 1

Primeiro vamos simplificar nossa integral:

∫ cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t s e n 2 3 t - 1 4 =   ∫ cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t 4 s e n 2 3 t - 1 4

= ∫ cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t 4 s e n 2 3 t - 1 2    

= ∫ 2 cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t 4 s e n 2 3 t - 1  

Passo 2

Agora faremos uma substituição no argumento das funções trigonométricas:

u = 3 t ⇒ d u = 3   d t

∫ 2 cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t 4 s e n 2 3 t - 1   = 2 3 ∫ cos ⁡ u   s e n   u 4 s e n 2 u - 1   d u

Passo 3

Faremos nesse passo duas substituições a fim de simplificar nossa integral:

v = s e n   u ⇒ d v = cos ⁡ u   d u

2 3 ∫ cos ⁡ u   s e n   u 4 s e n 2 u - 1   d u = 2 3 ∫ 1 v 4 v 2 - 1   d v

p = 4 v 2 - 1 ⇒ v = p 2 + 1 2

d p = 4 v 4 x 2 - 1 d v ⇒ 4 x 2 - 1 ⋅ d p 4 v = d v

Aplicando isso a integral temos:

2 3 ∫ 1 v 4 v 2 - 1   d v = 2 3 ∫ 1 v 4 v 2 - 1   4 x 2 - 1 4 v d p = 2 3 ∫ 1 4 v 2 d p

= 2 3 ∫ 1 4 p 2 + 1 2 2 d p

2 3 ∫ 1 p 2 + 1 d p

Passo 4

Agora vamos lembrar de um detalhe crucial para resolução dessa integral.

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x + c

Então temos que:

2 3 ∫ 1 p 2 + 1 d p = 2 3 a r c t g   p

Passo 5

Agora para obter o resultado final temos que retroceder as substituições feitas.

p = 4 v 2 - 1

2 3 a r c t g   p = 2 3 a r c t g   4 v 2 - 1

v = s e n   u

2 3 a r c t g   4 v 2 - 1 = 2 3 a r c t g   4 ( s e n   u ) 2 - 1

u = 3 t

2 3 a r c t g   4 ( s e n   u ) 2 - 1 = 2 3 a r c t g   4 ( s e n   3 t ) 2 - 1

Resposta

∫ cos ⁡ 3 t   d t s e n   3 t s e n 2 3 t - 1 4 = 2 3 a r c t g   4 ( s e n   3 t ) 2 - 1 + c

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Use integração por partes para calcular a integral. ∫ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) d x
Use integração por partes para calcular a integral. ∫ x ⋅ e - x d x
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