Avalie a integral.

∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos resolver a integral:

∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x

Vamos começar com uma substituição simples, fazendo:

t = ln ⁡ x

d t = 1 x d x → d x =   x   d t

Vamos ficar com:

∫ cos ⁡ t x   d t

Opa, mas e esse x aí?! Fazemos:

t = ln ⁡ x → x = e t

Assim:

∫ e t cos ⁡ t   d t

Passo 2

Beleza, mas essa integral ainda não tá bonita:

∫ e t cos ⁡ t   d t

Aqui a gente vai usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Mas quem é u e quem é d v ?! Vamos usar a seguinte ordem de prioridade!

Assim teremos: u = cos ⁡ t                     ;                

d v = e t   d t                   ;                      

Precisamos derivar u pra encontrar d u e integrar d v pra encontrar v :

d u d t = - sin ⁡ t → d u = - sin ⁡ t d t

∫ d v = ∫ - sin ⁡ t   d t → v = e t

Montando a integral por partes:

∫ e t   cos ⁡ t   d t = e t cos ⁡ t - ∫ e t   ( - sin ⁡ t )   d t

Dando uma arrumadinha:

∫ e t   cos ⁡ t   d t = e t cos ⁡ t + ∫ e t   ( sin ⁡ t )   d t

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral:

∫ e t   sin ⁡ t d t

De novo vamos usar integração por partes. Já sabemos o que fazer, u = sin ⁡ t , d v = e t , precisamos derivar e integrar:

u = sin ⁡ t                   →               d u = cos ⁡ t d t

d v = e t   d t                 →                     v = e t

Vamos ter:

∫ e t   ( sin ⁡ t )   d t = e t sin ⁡ t - ∫ e t   ( cos ⁡ t )   d t

Passo 4

Agora você deve tá pensando: “Socorro, estamos andando em círculos”!!!!

Calminha...vamos olhar a primeira integral por partes:

∫ e t   cos ⁡ t   d t = e t cos ⁡ t + ∫ e t   ( sin ⁡ t )   d t

Substituindo ∫ e t   ( sin ⁡ t )   d t pela integral por partes que montamos no passo anterior:

∫ e t   cos ⁡ t   d t = e t cos ⁡ t + e t sin ⁡ t - ∫ e t   ( cos ⁡ t )   d t

Podemos organizar a expressão:

2 ∫ e t   cos ⁡ t   d t = e t cos ⁡ t + e t sin ⁡ t

∫ e t   cos ⁡ t   d t = e t cos ⁡ t + sin ⁡ t 2

Lembrando que:

t = ln ⁡ x

Então voltando pra expressão original:

∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = e ln ⁡ x cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + e ln ⁡ x sin ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 + C

Não esquece da constante de integração!

Resposta

∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x = e ln ⁡ x cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + e ln ⁡ x sin ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados