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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 29

Avalie a integral.

int cos ( ln x ) d x

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos resolver a integral:

int cos ( ln x ) d x

Vamos começar com uma substituição simples, fazendo:

t = ln x

d t = (1)/(x) d x -> d x = x d t

Vamos ficar com:

int cos (t) x d t

Opa, mas e esse x aí?! Fazemos:

t = ln x -> x = e^t

Assim:

int e^t cos (t) d t

Passo 2

Beleza, mas essa integral ainda não tá bonita:

int e^t cos (t) d t

Aqui a gente vai usar a integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Mas quem é u e quem é d v ?! Vamos usar a seguinte ordem de prioridade!

Assim teremos: u = cos t ;

d v = e^t d t ;

Precisamos derivar u pra encontrar d u e integrar d v pra encontrar v :

(d u)/(d t) = - sin t -> d u = - sin t d t

int d v = int - sin t d t -> v = e^t

Montando a integral por partes:

int e^t cos t d t = e^t cos t - int e^t ( - sin t ) d t

Dando uma arrumadinha:

int e^t cos t d t = e^t cos t + int e^t ( sin t ) d t

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral:

int e^t (sin t) d t

De novo vamos usar integração por partes. Já sabemos o que fazer, u = sin t , d v = e^t , precisamos derivar e integrar:

u = sin t -> d u = cos t d t

d v = e^t d t -> v = e^t

Vamos ter:

int e^t ( sin t ) d t = e^t sin t - int e^t ( cos t ) d t

Passo 4

Agora você deve tá pensando: “Socorro, estamos andando em círculos”!!!!

Calminha...vamos olhar a primeira integral por partes:

int e^t cos t d t = e^t cos t + int e^t ( sin t ) d t

Substituindo int e^t ( sin t ) d t pela integral por partes que montamos no passo anterior:

int e^t cos t d t = e^t cos t + e^t sin t - int e^t ( cos t ) d t

Podemos organizar a expressão:

2 int e^t cos t d t = e^t cos t + e^t sin t

int e^t cos t d t = (e^t (cos t + sin t))/(2)

Lembrando que:

t = ln x

Então voltando pra expressão original:

int cos ( ln x ) d x = (e^(ln x) cos ( ln x ) + e^(ln x) sin ( ln x ))/(2) + C

Não esquece da constante de integração!

Resposta

int cos ( ln x ) d x = (e^(ln x) cos ( ln x ) + e^(ln x) sin ( ln x ))/(2) + C

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