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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 75

Calcule a integral

int (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a técnica de expansão por frações parciais, podemos reescrever o integrando da seguinte maneira

(1)/((x - 2) (x^2 + 4)) = (A)/((x - 2)) + (B x + C)/((x^2 + 4))

Dessa forma, temos

0 = A + B = C - 2 B

1 = 4 A - 2 C

Resolvendo o sistema de 3 equações e 3 incógnitas, temos

A = (1)/(8) , B = - (1)/(8) , C = - (1)/(4)

Passo 3

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x = int ((1 // 8)/((x - 2)) + ((- (1)/(8)) x - ((1)/(4)))/((x^2 + 4))) d x

Resolvendo a integral, temos

int (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x = (1)/(8) ln |(x - 2)| - (1)/(16) ln |(x^2 + 4)| - (1)/(8) tan^(- 1) ( x // 2 ) + C

Resposta

int (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x = (1)/(8) ln |(x - 2)| - (1)/(16) ln |(x^2 + 4)| - (1)/(8) tan^(- 1) ( x // 2 ) + C

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