Avalie a integral.

∫ x 2 ( x + 1 ) 3 d x

Passo 1

Primeiramente, vamos aplicar frações parciais para simplificar nossa função. Observamos que temos um termo elevado ao quadrado, logo:

x 2 ( x + 1 ) 3 =   A x + 1 +   B ( x + 1 ) 2 + C ( x + 1 ) 3

Agora vamos encontrar os valores numéricos dos coeficientes. Basta tirarmos o mínimo entre os termos:

x 2 ( x + 1 ) 3 =   A ( x + 1 ) 2 + B ( x + 1 ) + C ( x + 1 ) 3

x 2 = A ( x + 1 ) 2 + B ( x + 1 ) + C

Para resolver esta expressão, basta substituirmos qualquer valor desejado para x. Vamos procurar um valor que possa zerar pelo menos um dos termos. Se considerarmos x = - 1 os termos A ( x + 1 ) 2 e   B ( x + 1 )   vão zerar, restando apenas:

( - 1 ) 2 = C

C = 1

Substituindo um novo valor para x (consideraremos ele como 1) e usando C = 1 , não eliminaremos ninguém, mas teremos de construir um sistema de equações para determinar A e B:

( 1 ) 2 = A ( 1 + 1 ) 2 + B ( 1 + 1 ) + 1

4 A + 2 B = 0

Considerando agora x = 2

( 2 ) 2 = A ( 2 + 1 ) 2 + B ( 2 + 1 ) + 1

9 A + 3 B = 3

Simplificando por 3:

3 A + B = 1

Agora vamos resolver o sistema:

4 A + 2 B = 0 3 A + B = 1

Multiplicando 3 A + B = 1 por (-2) vamos obter que:

4 A + 2 B = 0 - 6 A - 2 B = - 2

Resolvendo o sistema:

- 2 A =   - 2

A = 1

Substituindo o valor de A na primeira equação do sistema:

4 ( 1 ) + 2 B = 0

2 B = - 4

B = - 2

Agora substituiremos os valores dos coeficientes nas frações parciais:

x 2 ( x + 1 ) 3 =   1 x + 1 -   2 ( x + 1 ) 2 + 1 ( x + 1 ) 3

Pronto, agora é só resolver!

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

∫ x 2 ( x + 1 ) 3 d x = ∫ 1 x + 1 -   2 ( x + 1 ) 2 + 1 ( x + 1 ) 3 d x

Na primeira integral faremos substituição simples:

∫ 1 x + 1 d x

u = x + 1 :

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Retornando para x:

∫ 1 x + 1 x =   ln ⁡ x + 1 + C

Na segunda integral também faremos substituição simples:

∫ 2 ( x + 1 ) 2 d x

u = x + 1

2 ∫ 1 u 2 d u =   2 - 1 u + C

Retornando para x:

∫ 2 ( x + 1 ) 2 d x = - 2 x + 1 + C

Na terceira integral também faremos substituição simples:

∫ 1 ( x + 1 ) 3 d x

u = x + 1

∫ 1 u 3 d u = - 1 2 u 2 + C

Retornando para x:

∫ 1 ( x + 1 ) 3 d x = - 1 2 ( x + 1 ) 2 + C

Então temos que:

∫ 1 x + 1 -   2 ( x + 1 ) 2 + 1 ( x + 1 ) 3 d x = ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 - 1 2 x + 1 2 + C

Moleza né? :P

Resposta

∫ x 2 ( x + 1 ) 3 d x = ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 - 1 2 x + 1 2 + C

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