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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 23

Avalie a integral.

int (x^2)/(( x + 1 )^3) d x

Passo 1

Primeiramente, vamos aplicar frações parciais para simplificar nossa função. Observamos que temos um termo elevado ao quadrado, logo:

(x^2)/(( x + 1 )^3) = (A)/(x + 1) + (B)/(( x + 1 )^2) + (C)/(( x + 1 )^3)

Agora vamos encontrar os valores numéricos dos coeficientes. Basta tirarmos o mínimo entre os termos:

(x^2)/(( x + 1 )^3) = (A ( x + 1 )^2 + B ( x + 1 ) + C)/(( x + 1 )^3)

x^2 = A ( x + 1 )^2 + B ( x + 1 ) + C

Para resolver esta expressão, basta substituirmos qualquer valor desejado para x. Vamos procurar um valor que possa zerar pelo menos um dos termos. Se considerarmos x = - 1 os termos A ( x + 1 )^2 e B ( x + 1 ) vão zerar, restando apenas:

( - 1 )^2 = C

C = 1

Substituindo um novo valor para x (consideraremos ele como 1) e usando C = 1 , não eliminaremos ninguém, mas teremos de construir um sistema de equações para determinar A e B:

( 1 )^2 = A ( 1 + 1 )^2 + B ( 1 + 1 ) + 1

4 A + 2 B = 0

Considerando agora x = 2

( 2 )^2 = A ( 2 + 1 )^2 + B ( 2 + 1 ) + 1

9 A + 3 B = 3

Simplificando por 3:

3 A + B = 1

Agora vamos resolver o sistema:

{[[4 A + 2 B = 0],[3 A + B = 1]])

Multiplicando 3 A + B = 1 por (-2) vamos obter que:

{[[4 A + 2 B = 0],[- 6 A - 2 B = - 2]])

Resolvendo o sistema:

- 2 A = - 2

A = 1

Substituindo o valor de A na primeira equação do sistema:

4 ( 1 ) + 2 B = 0

2 B = - 4

B = - 2

Agora substituiremos os valores dos coeficientes nas frações parciais:

(x^2)/(( x + 1 )^3) = (1)/(x + 1) - (2)/(( x + 1 )^2) + (1)/(( x + 1 )^3)

Pronto, agora é só resolver!

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

int (x^2)/(( x + 1 )^3) d x = int (1)/(x + 1) - (2)/(( x + 1 )^2) + (1)/(( x + 1 )^3) d x

Na primeira integral faremos substituição simples:

int (1)/(x + 1) d x

u = x + 1 :

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Retornando para x:

int (1)/(x + 1) x = ln |x + 1| + C

Na segunda integral também faremos substituição simples:

int (2)/(( x + 1 )^2) d x

u = x + 1

2 int [[(1)/(u^2) d u = 2 (- (1)/(u)) + C],[]]

Retornando para x:

int (2)/(( x + 1 )^2) d x = - (2)/(x + 1) + C

Na terceira integral também faremos substituição simples:

int (1)/(( x + 1 )^3) d x

u = x + 1

int [[(1)/(u^3) d u = (- (1)/(2 u^2)) + C],[]]

Retornando para x:

int (1)/(( x + 1 )^3) d x = (- (1)/(2 ( x + 1 )^2)) + C

Então temos que:

int (1)/(x + 1) - (2)/(( x + 1 )^2) + (1)/(( x + 1 )^3) d x = ln |x + 1| + (2)/(x + 1) - (1)/(2 (x + 1)^2) + C

Moleza né? :P

Resposta

int (x^2)/(( x + 1 )^3) d x = ln |x + 1| + (2)/(x + 1) - (1)/(2 (x + 1)^2) + C

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