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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 15

Calcule a integral int_0^((1)/(2)) (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x .

Passo 1

Nessa questão será necessário fazer uma substituição simples do tipo u.du, logo mudaremos as varáveis da seguinte forma:

u = 1 - x^2

d u = 2 x d x

x = 0 -> u = 1

x = (1)/(2) -> u = (3)/(4)

Importante lembrar mudar os intervalos de integração quando muda – se de variável.

Aplicando na integral a nova variável:

int_0^((1)/(2)) (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

int_0^((3)/(4)) (1)/(sqrt(u)) d u

int_((3)/(4))^0 u^((- 1)/(2)) d u

Os extremos são invertidos devidos o sinal negativo da integral.

Resolvendo a integral, teremos:

(1)/(2) (2 u^((1)/(2))) (1)/((3)/(4))

( sqrt(u) ) (1)/((3)/(4))

sqrt(1) - sqrt((3)/(4))

1 - (sqrt(3))/(2)

Resposta

1 - (sqrt(3))/(2)

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