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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 20

Calcule a integral.

int (x^2 - 5 x + 16)/((2 x + 1) (x - 2)^2) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

int (x^2 - 5 x + 16)/((2 x + 1) (x - 2)^2) d x

Queremos resolver a integral dada usando frações parciais. O grau do denominador é maior que o do numerador, de modo que já podemos aplicar diretamente a decomposição. Note também que o termo ( x - 2 ) aparece duas vezes:

(x^2 - 5 x + 16)/((2 x + 1) (x - 2)^2) = (A)/(2 x + 1) + (B)/(x - 2) + (C)/((x - 2)^2)

Bora lá!

Passo 2

Assim, simplificando a equação anterior

(x^2 - 5 x + 16)/((2 x + 1) (x - 2)^2) = (A (x - 2)^2 + B (2 x + 1) (x - 2) + C ( 2 x + 1 ))/((2 x + 1) (x - 2)^2)

Portanto,

(A + 2 B) x^2 + (- 4 A - 3 B + 2 C) x + (4 A - 2 B + C) = x^2 - 5 x + 16

Desta forma, precisamos resolver o sistema

{[[A + 2 B = 1],[- 4 A - 3 B + 2 C = - 5],[4 A - 2 B + C = 16]])

Assim, A = 3 , B = - 1 e C = 2 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Assim, a integral fica

int (x^2 - 5 x + 16)/((2 x + 1) (x - 2)^2) d x = int ((3)/(2 x + 1) - (1)/(x - 2) + (2)/((x - 2)^2)) d x

Calculando a integral:

int (x^2 - 5 x + 16)/((2 x + 1) (x - 2)^2) d x = (3)/(2) ln | 2 x + 1 | - ln |x - 2| - (2)/(x - 2) + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(3)/(2) ln | 2 x + 1 | - ln |x - 2| - (2)/(x - 2) + C

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