Calcule a integral.

∫ x 2 - 5 x + 16 2 x + 1 x - 2 2   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ x 2 - 5 x + 16 2 x + 1 x - 2 2   d x

Queremos resolver a integral dada usando frações parciais. O grau do denominador é maior que o do numerador, de modo que já podemos aplicar diretamente a decomposição. Note também que o termo ( x - 2 ) aparece duas vezes:

x 2 - 5 x + 16 2 x + 1 x - 2 2 = A 2 x + 1 + B x - 2 + C x - 2 2

Bora lá!

Passo 2

Assim, simplificando a equação anterior

x 2 - 5 x + 16 2 x + 1 x - 2 2 = A x - 2 2 + B 2 x + 1 x - 2 + C ( 2 x + 1 ) 2 x + 1 x - 2 2

Portanto,

A + 2 B x 2 + - 4 A - 3 B + 2 C x + 4 A - 2 B + C = x 2 - 5 x + 16

Desta forma, precisamos resolver o sistema

A + 2 B = 1 - 4 A - 3 B + 2 C = - 5 4 A - 2 B + C = 16

Assim, A = 3 , B = - 1 e C = 2 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Assim, a integral fica

∫ x 2 - 5 x + 16 2 x + 1 x - 2 2   d x = ∫ 3 2 x + 1 - 1 x - 2 + 2 x - 2 2 d x

Calculando a integral:

∫ x 2 - 5 x + 16 2 x + 1 x - 2 2   d x = 3 2 ln ⁡ | 2 x + 1 | - ln ⁡ x - 2 - 2 x - 2 + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

3 2 ln ⁡ | 2 x + 1 | - ln ⁡ x - 2 - 2 x - 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados