Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 11

Avalie a integral:

int (1)/(x^3 sqrt(x^2 - 1)) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos que calcular a integral

int (1)/(x^3 sqrt(x^2 - 1)) d x

Parece complicado? 🤔

Dê uma olhada na raiz quadrada que aparece no denominador:

sqrt(x^2 - 1)

Ela é perfeita para aplicarmos uma substituição trigonométrica! Então vamos fazer o seguinte:

x = sec theta -> d x = sec ( theta ) tan ( theta ) d theta

Já vai ficar claro o porquê de usarmos essa substituição.

Veja só! 😁

Passo 2

Vamos colocar isso na integral:

I = int (1)/(x^3 sqrt(x^2 - 1)) d x = int (sec theta tan theta)/(sec^3 theta sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

Podemos cortar uma secante em cima e uma embaixo:

I = int (tan theta)/(sec^2 theta sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

Beleza, agora temos que nos lembrar de ume relação trigonométrica importante:

sec^2 theta - 1 = tan^2 theta

Então:

I = int (tan theta)/(sec^2 theta sqrt(tan^2 theta)) d theta

I = int (1)/(sec^2 theta) d theta

Mas sec theta = (1)/(cos theta) , então:

I = int (1)/(sec^2 theta) d theta = int cos^2 theta d theta

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para resolver a integral do cos^2 theta , temos que nos lembrar de outra relação trigonométrica importante:

cos^2 theta = (1 + cos ( 2 theta ))/(2)

Então:

I = int cos^2 theta d theta = int ((1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)) d theta

I = (1)/(2) int d theta + (1)/(2) int cos (2 theta) d theta

E essas são duas integrais que nós já sabemos resolver:

(1)/(2) int d theta = (theta)/(2) + C

(1)/(2) int cos (2 theta) d theta = (1)/(4) sen (2 theta) + C

Então nossa integral é:

I = (theta)/(2) + (1)/(4) sen 2 theta + C

Agora é só “desfazer” a nossa substituição theta = arcsec ( x )

I = (1)/(2) arcsec ( x ) + (1)/(4) sen (2 arcsec (x)) + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

A integral vale (1)/(2) arcsec ( x ) + (1)/(4) sen (2 arcsec (x)) + C .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os exercícios de 43 a 45 referem-se à Seção Suplementar 6.7.45. Um tanque de automóvel tem a forma de um cilindro circular reto com 8cm de raio, com um eixo horizontal. Ache a força total num extremo,
Calcule.int (arctg e^x)/(e^x) d x
Calcule.int arctg sqrt(x) d x
Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.75. ∫ a a 2 a 2 - x 2 3 d x x 2
Calcule as integrais. A) Sem usar substituição trigonométrica