Avalie a integral:

∫ 1 x 3 x 2 - 1   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ 1 x 3 x 2 - 1   d x

Parece complicado? 🤔

Dê uma olhada na raiz quadrada que aparece no denominador:

x 2 - 1

Ela é perfeita para aplicarmos uma substituição trigonométrica! Então vamos fazer o seguinte:

x = sec ⁡ θ → d x = sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ )   d θ

Já vai ficar claro o porquê de usarmos essa substituição.

Veja só! 😁

Passo 2

Vamos colocar isso na integral:

I = ∫ 1 x 3 x 2 - 1   d x = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1   d θ

Podemos cortar uma secante em cima e uma embaixo:

I = ∫ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1   d θ

Beleza, agora temos que nos lembrar de ume relação trigonométrica importante:

sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

Então:

I = ∫ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ   d θ

I = ∫ 1 sec 2 ⁡ θ   d θ

Mas sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ , então:

I = ∫ 1 sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para resolver a integral do cos 2 ⁡ θ , temos que nos lembrar de outra relação trigonométrica importante:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ ( 2 θ ) 2

Então:

I = ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

I = 1 2 ∫ d θ + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ   d θ

E essas são duas integrais que nós já sabemos resolver:

1 2 ∫ d θ = θ 2 + C

1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Então nossa integral é:

I = θ 2 + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Agora é só “desfazer” a nossa substituição θ = arcsec ⁡ ( x )

I = 1 2 arcsec ⁡ ( x ) + 1 4 sen ⁡ 2 arcsec ⁡ x + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

A integral vale 1 2 arcsec ⁡ ( x ) + 1 4 sen ⁡ 2 arcsec ⁡ x + C .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados