Avalie a integral:

∫ cos ⁡ ( 1 / x ) x 3   d x

Passo 1

Logo de cara já temos que dar um jeito naquele 1 / x dentro do cosseno, ele é complicado demais! Então vamos substituir:

t = 1 x

d t = - 1 x 2 d x         ⇒         d x = - x 2   d t

Jogando isso na integral, ficamos com:

I = ∫ cos ⁡ ( 1 / x ) x 3   d x = - ∫ cos ⁡ ( t ) x 3   x 2 d t

I = - ∫ cos ⁡ ( t ) x   d t

Mas   t = 1 / x , então:

I = ∫ - t cos ⁡ ( t )   d t

Passo 2

Beleza, agora ficamos com uma integral do produto de duas funções. Vamos usar a integração por partes!

∫ u   d v = u   v - ∫ v   d u

E vamos chamar:

d v = cos ⁡ t   d t u = - t

Então:

v = sen ⁡ t d u = ( - 1 )   d t

Agora é só substituir na fórmula:

I = - t sen ⁡ t - ∫ sen ⁡ t - 1 d t

I = - t sen ⁡ t + ∫ sen ⁡ t d t

E a integral do sen ⁡ ( t ) é - cos ⁡ ( t ) , então:

I = - t sen ⁡ t - cos ⁡ t + C

Passo 3

Agora só temos que desfazer a nossa substituição:

t = 1 x

Então:

I = - sen ⁡ 1 / x x - cos ⁡ 1 / x + C

Resposta

A integral vale - sen ⁡ 1 x x - cos ⁡ 1 x + C .

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