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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 10

Avalie a integral:

int (cos ( 1 // x ))/(x^3) d x

Passo 1

Logo de cara já temos que dar um jeito naquele 1 // x dentro do cosseno, ele é complicado demais! Então vamos substituir:

t = (1)/(x)

d t = - (1)/(x^2) d x => d x = - x^2 d t

Jogando isso na integral, ficamos com:

I = int (cos ( 1 // x ))/(x^3) d x = - int (cos ( t ))/(x^3) x^2 d t

I = - int (cos ( t ))/(x) d t

Mas t = 1 // x , então:

I = int - t cos ( t ) d t

Passo 2

Beleza, agora ficamos com uma integral do produto de duas funções. Vamos usar a integração por partes!

int u d v = u v - int v d u

E vamos chamar:

{[[d v = cos (t) d t],[u = - t]])

Então:

{[[v = sen t],[d u = ( - 1 ) d t]])

Agora é só substituir na fórmula:

I = (- t) (sen t) - int (sen t) (- 1) d t

I = - (t) (sen t) + int sen t d t

E a integral do sen ( t ) é - cos ( t ) , então:

I = - (t) (sen t) - cos (t) + C

Passo 3

Agora só temos que desfazer a nossa substituição:

t = (1)/(x)

Então:

I = - (sen (1 // x))/(x) - cos (1 // x) + C

Resposta

A integral vale - (sen ((1)/(x)))/(x) - cos ((1)/(x)) + C .

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