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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 25

Avalie a integral:

int_0^1 (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a expresão:

(1 + 12 t)/(1 + 3 t) = (4 + 12 t - 3)/(1 + 3 t) = (4 + 12 t)/(1 + 3 t) - (3)/(1 + 3 t)

E na primeira fração, o numerador é quatro vezes o denominador, então:

(1 + 12 t)/(1 + 3 t) = 4 - (3)/(1 + 3 t)

Então a nossa integral indefinida fica:

I = int (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t = int 4 - (3)/(1 + 3 t) d t

I = int 4 d t - int (3)/(1 + 3 t) d t

Passo 2

E as duas integrais que sobraram são bem conhecidas!

int 4 d t = 4 t + C

- int (3)/(1 + 3 t) d t = - ln |1 + 3 t| + C

Então:

I = 4 t - ln |1 + 3 t| + C

Agora precisamos avaliar isso quando t varia de t = 0 até t = 1 :

int_0^1 (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t = 4 (1) - ln |1 + 3 (1)| - 4 (0) + ln |1 + 3 (0)|

E como ln 1 = 0 e ln 4 = 2 ln 2 , temos:

int_0^1 (1 + 12 t)/(1 + 3 t) d t = 4 - 2 ln 2

Resposta

A integral vale 4 - 2 ln 2 .

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