Avalie a integral:

∫ 0 1 1 + 12 t 1 + 3 t   d t

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a expresão:

1 + 12 t 1 + 3 t = 4 + 12 t - 3 1 + 3 t = 4 + 12 t 1 + 3 t - 3 1 + 3 t

E na primeira fração, o numerador é quatro vezes o denominador, então:

1 + 12 t 1 + 3 t = 4 - 3 1 + 3 t

Então a nossa integral indefinida fica:

I = ∫ 1 + 12 t 1 + 3 t   d t = ∫ 4 - 3 1 + 3 t   d t

I = ∫ 4   d t - ∫ 3 1 + 3 t   d t

Passo 2

E as duas integrais que sobraram são bem conhecidas!

∫ 4   d t = 4 t + C

- ∫ 3 1 + 3 t   d t = - ln ⁡ 1 + 3 t + C

Então:

I = 4 t - ln ⁡ 1 + 3 t + C

Agora precisamos avaliar isso quando t varia de t = 0 até t = 1 :

∫ 0 1 1 + 12 t 1 + 3 t   d t = 4 1 - ln ⁡   1 + 3 1 - 4 0 + ln ⁡ 1 + 3 0

E como ln ⁡ 1 = 0 e ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2 , temos:

∫ 0 1 1 + 12 t 1 + 3 t   d t = 4 - 2 ln ⁡ 2

Resposta

A integral vale 4 - 2 ln ⁡ 2 .

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