Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

A função f(x) = e^(-x) + 1 é uma solução do problema de valor inicial

dy/dx = -1/e^x, y(0) = 1

Passo 1

Fala, pessoal! Esse exercício envolve a parte mais inicial sobre integrais indefinidas e, pra isso, vamos relembrar algumas definições.

Pelo Teorema no item 5.2 . 2 (na página 323 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON), temos que a antiderivada, ou ainda, a integral indefinida de uma função f x em um intervalo aberto pode ser dada pela fórmula geral:

∫ f x d x = F x + C

Se

d d x F x = f x

Onde C é uma constante arbitrária. Portanto, para cada valor atribuído a essa constante, podemos conseguir uma função diferente, mas que também é a integral indefinida de f .

Passo 2

Então, observando a forma do problema de valor inicial (P.V.I.) e da função “solução”, é possível percebermos que f x seria o resultado da integral indefinida da equação:

d y d x = - 1 e x

E teria a forma:

f x = e - x + C

Passo 3

Dessa forma, para verificar se a função dada é uma possível solução para o P.V.I. dado, vamos verificar isso através da substituição da condição de valor inicial y 0 = 1 .

Logo, se o valor de x for igual a zero como dito na condição inicial, teremos:

f x → f 0 = e 0 + 1 = 1 + 1

Tal que:

f 0 = y 0 = 2

Logo, a afirmação está incorreta.

Resposta

Falso

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