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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 5

Calcule a integral.

int_0^2 (2 t)/((t - 3)^2) d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Para simplificar o denominador, vamos fazer x = t - 3 . Assim, d x = d t e t = x + 3 . Portanto,

int_0^2 (2 t)/((t - 3)^2) d t = int_(- 3)^(- 1) (2 x + 6)/(x^2) d x = 2 int_(- 3)^(- 1) (1)/(x) d x + 6 int_(- 3)^(- 1) (1)/(x^2) d x

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

2 int_(- 3)^(- 1) (1)/(x) d x + 6 int_(- 3)^(- 1) (1)/(x^2) d x = 2 [ln |x|]_(- 3)^(- 1) - 6 [(1)/(x)]_(- 3)^(- 1)

Passo 3

Desta forma,

int_0^2 (2 t)/((t - 3)^2) d t = 2 (ln 1 - ln 3) - 6 (- 1 + (1)/(3)) = 4 - 2 ln 3

Resposta

4 - 2 ln 3

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