Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 27

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ sec ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 1

Faaaala, belezuras do Responde Aí!! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando não possui uma fórmula de integração definida na Tabela 5.2 . 1 , precisamos lembrar que a função cosseno é o inverso da função secante, ou seja:

∫ sec ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

∫ sec ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ ² θ   d θ

Passo 3

Com isso, usando a fórmula adequada da Tabela de integração, temos:

∫ sec ⁡ ² θ   d θ = t g θ + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d θ t g θ + C = sec ⁡ ² θ + 0

d d θ t g θ + C = sec ⁡ ² θ

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ sec ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = t g θ + C

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Encontre uma equação da curva que satisfaz as condições dadas.Em cada ponto ( x ,y ) da curva, a inclinação é - sin ⁡ x ; a curva passa pelo ponto ( 0 ,2 ) .
Encontre a forma geral de um função cuja derivada segunda é x . [Sugestão. Resolva a equação f ' ' x = x para f ( x ) . Integrando ambos os lados duas vezes.]
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d x) = (x + 1)/(sqrt(x)) , y (1) = 0
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1) , y (1) = (pi)/(2)
Resolva os problemas de valor inicial.(d y)/(d t) = sec^2 t - sin t , y ((pi)/(4)) = 1